Das hier sind die Aufgaben die ich Lösen sollte.
Aufgabe 1
Bestimmen Sie das größte $$ n \in \mathbb{N}$$, so dass 100! von $$2^n$$ geteilt wird. Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2
Sei $$n$$ eine natürliche Zahl.Entwickeln Sie eine Formel für die Summe
$$1+3+5+...+(2n-1)$$
der ersten $$n$$ ungeraden Zahlen. begründen Sie warum ihre Formel für alle $$n$$ das korrekte Ergebnis liefert.
Aufgabe 3
Sei $$n$$ eine natürliche Zahl. Gegeben $$n$$ Punkte auf einer Kreislinie, zeichnen Sie alle Sehnen durch diese Punkte. Stellen Sie eine von $$n$$ abhängige Vermutung, in wie viele Regionen der Kreis maximal zerteilt wird. Wie sind Sie auf die Vermutung gekommen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung für einige natürliche Zahlen $$n$$.
Zu Aufgabe 1 :
Ich habe mir 100! und für $$2^n$$ vereinfacht aufgeschrieben d.h.
$$100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 100$$
$$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64 $$
Dann habe ich mir angeschaut wie viele Zahlen denn die 2 , 4, 8, 16, 32 und 64 teilt. Das sind 50, 25, 12, 6, 3, 1.
Nun habe ich mir gedacht wenn 97 Zahlen geteilt werden sollte $$2^97$$ die 100! ebenfalls teilen. Ein Satz für die Begründung fällt mir nicht ein, aber ich könnte es als Bruch schrieben und im Zähler als auch im Nenner könnte man dann ausschreiben und am Schluss kürzen.
Zu 2:
Also eine Formel für die Summe ungerader Zahlen ist einfach zu erstellen, denn ungerade Zahlen kann man mit $$2n+1$$ oder $$2n-1 $$ ausdrücken. Durch stumpfes summieren der ungeraden Zahlen kam ich dann auf die Formel $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2n-1 =n^2$$
Aber auch hierfür habe ich keine Begründung.
Zu 3:
Bei dieser Aufgabe habe ich mein größtes Problem. Denn um die Anzahl an Regionen zu maximieren habe ich mir gedacht es ist sinnvoll das sich maximal 2 Sehnen im gleichen Punkt schneiden. Dann würde ich es wieder erstmal durch probieren machen d.h.
n=1 dann haben wir max. 2 Regionen
n=2 dann haben wir max. 4
n=3 dann haben wir max. 7
n=4 dann haben wir max. 11
n=5 dann haben wir max. 16
Dann weiß ich noch das bei den Regionen immer n addiert wird,
aber mehr als diese Beispiele habe ich bis jetzt nicht.
Mein größtes Problem ist dann bei Aufgabe 1 und 2 die Begründung warum das so ist. Ich würde mich freuen wenn mir jmd. dabei helfen kann.
