Mengenlehre: Beweisen/widerlegen Sie L ∪ (N \ M) = (L ∪ N) \ (M \ L)

Question

leider scheitere ich gerade an folgender Matheaufgabe. Ich soll begründen, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:

L ∪ (N \ M) = (L ∪ N) \ (M \ L)

Ich habe mir beide Seiten der Gleichung mal als Kreise skizziert und zum Schluss hatte ich dann bei beiden Skizzen die gleichen Felder ausgefüllt. Um die Gleichheit zu beweisen, reicht dies logischerweise allerdings leider nicht aus.

Mir ist bewusst, dass

gilt. Jedoch ist mir nicht klar, wie und mit welchen Rechenregeln ich fortfahren soll, bzw. wie ich das zur anderen Seite umgeformt bekomme.

Wäre über Hilfe sehr dankbar :)

Answer 1

Fang besser mit der rechten Seite an:

               x ∈ L∪N   ∧   x ∉ M\L

<=>   ( x∈ L v  x∈ N )   ∧   nicht (  x ∈ M   ∧   x ∉ L )

Negation mit de Morgan:

<=>    ( x∈ L v  x∈ N )   ∧  (  x ∉ M   v    x  ∈ L )

Distributiv für und/oder

<=>     x∈ L   v   (  x∈ N   ∧   x ∉ M )

<==>     x∈ L   ∪  ( N \ M )         q.e.d.