Question

Hat die Funktion f(x)= -1/3x^3+x^2-x Extrempunkte?

In den Lösungen steht, dass sie keine habe. Ich habe as mit Hilfe der 2. Ableitung ausgerechnet. (mit notw. und hinr. Bedinung) und komme auf einen Tiefpunkt (2/3) und einen Hochpunkt (0/3)

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Vom Duplikat:

Titel: Extremstellen, Wendepunkte, Monotonieverhalten und Krümmungsverhalten

Stichworte: funktion,wendepunkt,kurvendiskussion,krümmung

Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)= -1/3x^3+x^2-x

In welchen Punkten schneidet der Graph von f die Koordinatenachsen? Gibt es Extrem- und Wendepunkte? Begründen Sie.

Leiten sie aus den zu den vorherigen Teilaufgaben erhaltenen Ergebnissen Aussagen zur Monotonie und zum Krümmungsverhalten ab.

Vielen dank für die Hilfe!

Answer 1

Funktion & Ableitungen
f(x) = -1/3·x^3 + x^2 - x
f'(x) = -x^2 + 2·x - 1
f''(x) = 2 - 2·x

y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0
-1/3·x^3 + x^2 - x = -1/3·x·(x^2 - 3·x + 3) = 0 --> x = 0
x^2 - 3·x + 3 = 0 --> Keine weiteren Nullstellen

Extrempunkte f'(x) = 0
-x^2 + 2·x - 1 = 0 --> x = 1 (doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und dadurch Sattelpunkt anstatt Extrempunkt)

Wendepunkte f''(x) = 0
2 - 2·x = 0 --> x = 1
f(1) = -1/3 --> Sattelpunkt (1; -0.3333)

Monotonie
Der Graph ist streng monoton fallend.

Krümmung
Der Graph ist im Intervall ]-∞ ; 1] linksgekrümmt.
Der Graph ist im Intervall [1 ; ∞[ rechtsgekrümmt.

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Vielen vielen Dank für die Mühe!

Jetzt habe ich die Aufgabe fast komplett verstanden.

Der Wendepunkt ist ein links-rechts-Wendepunkt, richtig?

Wenn ich das jetzt so berechnet habe:

notwendige Bedingung:

f''(x)=0

also x=1

hinreichende Bedingung:

f''(x)=0 und Vorzeichenwechsel von f'' an der Stelle x

f''(0)= 2

f''(2) = -2

also VZW von + nach- also links-rechts-WP

Woran sehe ich dann dass das eine Sattelstelle ist?

2. Frage:

Wie begründet man das Monotonieverhalten?

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Woran sehe ich dann dass das eine Sattelstelle ist?

Eine Sattelstelle ist eine Wendestelle bei der die erste Ableitung = 0 ist.

Wie begründet man das Monotonieverhalten?

Bis auf einen einzigen Punkt ist f'(x) < 0 und damit ist die Funktion streng monoton fallend.

Answer 2

Die erste Ableitung hat doppelte die Nullstelle x=1. Das ist ein Sattelpunkt des Graphen von f.

Answer 3

Es ist f ' (x) = -x^2 + 2x - 1 = - ( x-1)^2

und f ' (x) = 0 hat die einzige Lösung x=1.

Dort ist aber KEIN Extrempunkt, da sowohl rechts als auch links davon

f ' (x) negative Werte hat, der Graph ist also dort streng monoton fallend.

Comments

Bei  mir kommen irgendwie als Nullstellen 2 und 0 heraus.

f'(x)=-1x^2+2x

0=-1x^2+2x           /:(-1)

0= x^2 -2x

x1,2= 1+/- Wurzel (-1)^2-0

x= 0 v 2

Was ist mein Fehler?

Im Anschluss habe ich diese Ergebnisse in die hinreichende Bedingung eingesetzt und somit f''(2) =2 >0 also linksgekrümmt also Minimum und f''(0)=-2<0 also rechtsgekrümmt also Maximum erhalten.

Was habe ich dann falsch gemacht?

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f'(x) = -x² + 2x -1