0 Daumen
908 Aufrufe

ich soll einen kommutativen Ring angeben, über dem das Polynom x^2-x unendliche viele Nullstellen hat. Leider fällt mir bisher keiner ein.

Generell hat ja x^2-x =0 die Lösung 1.


Bräuchte also eure Hilfe:)

:)

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Sei \(x := \begin{pmatrix} 0&0\\a&1 \end{pmatrix}\). Dann ist \(x^2 = x\).

Avatar von 107 k 🚀

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

Wenn man die Matixmultiplikation auf eine geeignete Teilmenge einschränkt, dann ist sie auf dieser Teilmenge kommutativ.

In der Teilmenge sollen ja wohl unendlich viele Matrizen der Form \(0\,0\choose a\,1\) drin sein, oder? Es ist aber \({0\,0\choose a\,1}{0\,0\choose b\,1}={0\,0\choose b\,1}\) und \({0\,0\choose b\,1}{0\,0\choose a\,1}={0\,0\choose a\,1}\).

Ich habe \(\begin{pmatrix} 0&0\\a_1&a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0&0\\b_1&b_2 \end{pmatrix} \) berechnet, und dann (um Kommutativität nachzuweisen) mit dem Ergebnis von \(\begin{pmatrix} 0&0\\a_1&a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0&0\\b_1&b_2 \end{pmatrix} \) verglichen.

Aus unerfindlichen Gründen kam beides mal das gleiche Ergebnis.

0 Daumen
Generell hat ja x2-x =0 die Lösung 1.

Generell hat \(x^2-x=0\) die Lösung \(0\). \(1\) ist nur dann eine weitere Lösung, falls der Ring ueberhaupt eine \(1\) hat. In diesem Fall kann man faktorisieren: \(x^2-x=x(x-1)=0\). Wenn es dann noch andere Lösungen als \(0\) und \(1\) geben soll, muss der Ring Nullteiler haben.

Du kannst also mal kommutative Ringe mit \(1\) auflisten, die unendlich viele Nullteiler haben. Da findet sich was Passendes drunter.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community