Ich will nur wissen, ob es ohne eine Definition für f möglich ist.
Wenn \(f(n)\) beliebig sein soll, so stimmt die Gleichung nicht, wie sich z.B. durch ein einfaches Beispiel leicht zeigen lässt: $$f(n)=0 \space \forall n \in \mathbb{N}_0 \quad \implies \space 0 \ne 0 -1$$
Es ist also eher die Frage, wie \(f(n)\) beschaffen sein muss, damit dieser Zusammenhang besteht. Wenn man mal annimmt, dass $$f(0) = f_0, \quad f(1)=f_1$$ ist, dann kann man wegen $$f(n+1) = \sum_{k=0}^{n-1} f(k) + 1$$ die folgende Werte von \(f(n) \, n\in \mathbb{N}\) direkt berechnen: $$\begin{aligned} f(0) &= f_0 \\ f(1) &= f_1 \\ f(2) &= f_0 + 1 \\ f(3) &= f_0 + f_1 + 1\\ f(4) &= 2f_0 + f_1 + 2 \\ f(5) &= 3f_0 + 2f_1 + 3 \\ f(6) &= 5f_0 + 3f_1 + 5 \\ f(7) &= 8 f_0 + 5 f_1 + 8\end{aligned}$$
Da liegt der Verdacht nahe, dass \(f(n)\) wie folgt aussieht: $$f(n) = F(n-1) (f_0+1) + F(n-2) f_1, \space k \ge 2$$ wobei \(F(n)\) die Fibonacci-Folge ist - mit der Bildungsregel $$F(0)=0, \space F(1)=1, \space F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$ und dies kann man per Induktion beweisen. Der Induktionsanfang steht schon oben - bleibt der Induktionsschritt: $$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} f(k) &= \sum_{k=0}^{n-1} f(k) + f(n) \\ &= f(n+1) + f(n) -1 \\ &= F(n) (f_0+1) + F(n-1) f_1 + F(n-1) (f_0+1) + F(n-2) f_1 - 1 \\ &= (F(n) + F(n-1))(f_0+1) + (F(n-1)+F(n-2)) f_1 - 1\\ &= F(n+1)(f_0+1) + F(n)f_1 - 1 \\&= f(n+2) - 1 \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$
Anmerkung: setze \(a=f_0+1\) und \(b=f_1\), dann ist $$\begin{aligned} f(0) &= a-1 \\ f(1) &= b \\ f(n) &= F(n-1)a + F(n-2)b \quad n \ge 2 \end{aligned}$$
Anmerkung (2): Für \(F(n)\) kann man auch die Formel von Moivre/Binet einsetzen: $$F(n)= \frac{\Phi^n - \Phi^{-n}}{\sqrt{5}}, \quad \Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ Gruß Werner
