zu zeigen ist eine nullfolge.beweis oder gegenbeispiel

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine beschränkte Folge. Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n} \cdot b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) dann ebenfalls eine Nullfolge ist. Kann auf die Voraussetzung,\( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist beschränkt" verzichtet werden? Begründen Sie Ihre Antwort (Beweis oder Gegenbeispiel).

Answer 1

ein Gegenbeispiel lautet: \( a_n = \frac{1}{n} \) und \( b_n = n^2 \). Die Folge \( b_n \) ist offensichtlich nicht beschränkt, \( a_n \) ist eine Nullfolge.

Das Produkt \( a_n b_n = n \) ist keine Nullfolge.

Schon \( b_n = n \) hätte durch \( a_n b_n = 1 \) nicht die Eigenschaft, dem Produkt von \( a_n \) und \( b_n \) die Nullfolgeneigenschaft von \( a_n \) zu vererben.

MfG

Mister