Zwei gleichgroße Flächen

Question

ABCD sei ein Quadrat und CF=CE. Zeige: Die grau unterlegten Flächen sind flächengleich.

Answer 1

Hallo Roland,

Die Strecke \(|CF|=|CE|\) sei \(x\) und eine Seite des Quadrats (z.B. \(|AB|\)) sei \(a\). Das Viereck \(GEFD\) ist ein Trapez mit der Höhe \(x\), der Grundseite \(a\) sowie der Oberseite \(a-x\). Das Dreieck \(\triangle EFA\) ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \(x\sqrt{2}\) und der Höhe \(a\sqrt{2} - \frac12x\sqrt{2}\). Dann erhält man für die Fläche des Trapez \(F_T\) und die Fläche des Dreiecks \(F_D\):

$$F_T = \frac12 (a + a-x) x = ax -\frac12 x^2 \\ F_D = \frac12 (a\sqrt{2} - \frac12x\sqrt{2}) x\sqrt{2} = ax - \frac12 x^2$$

beide Flächen sind somit gleich groß und da sich die beiden grünen Flächen von den oben berechneten nur durch die Fläche von \(\triangle HEF\) (braun) unterscheiden, müssen die beiden grünen ebenso gleich groß sein.

Gruß Werner

Comments

@Roland: ... also ich meine, dass Gast62 den Stern verdient hat. (auch wenn  meine Zeichnung schöner ist ;-) )

Answer 2

Man gebe beiden grauen Flächen das rote Dreieck dazu und vergleiche die nun entstandenen rechtwinkligen Dreiecke.

Comments

Viel offensichtlicher als meine Rechnung.

Daher einen Daumen hoch.

Bei mir in der Rechnung ist die Seitenlänge des Quadrates x + a statt a.

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.. das ist die Lösung, nach der ich gesucht und sie nicht gefunden habe. Daher auch einen Daumen von mir.

Answer 3

y/a = a/(x + a) --> y = a^2/(x + a)

A1 = 1/2·a·(x + a) - 1/2·(a^2/(x + a))·a

A2 = 1/2·a·(x + a) - 1/2·(a^2/(x + a))·a

Man sieht jetzt schon das die Terme zum berechnen gleich sind.