: i = 1, 2, 3. Welche der Funktionen gi sind stetig in (0, 0)?

Question

$$\\[1ex]\text{Seien }f_1,f_2,f_3:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\text{ definiert durch }\\ \hspace{120pt}f_1(x,y):=x\\ \hspace{120pt}f_2(x,y):=x^2y\\ \\[1ex]\hspace{120pt}f_3(x,y):=x|y|^{\frac{3}{2}}\\ \\[2ex]\text{und }g_i:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\text{ gegeben durch}\\ \\[4ex]\hspace{50pt}g_i(x,y):= \begin{cases} \frac{f_i(x,y)}{x^2+y^2}\hspace{10pt}\text{für}(x,y)\neq(0,0)\\ 0\hspace{29pt}\text{für}(x,y)=(0,0) \end{cases}\\ \text{für }i=1,2,3.\text{ Welche der Funktionen }g_i\text{ sind stetig in }(0,0)?$$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: i = 1, 2, 3. Welche der Funktionen gi sind stetig in (0, 0)?

Stichworte: stetigkeit,funktion

ich bitte um eure Hilfe , dies Aufgabe zu lösen oder Tipps von eu ch zu bekommen ;)

Answer 1

Bei g1 geht es um x / (x^2 +y^2 ) .

Betrachte die Punktfolge (1/n ; 1/n ) für n gegen unendlich. Diese

geht gegen (0;0).  Aber die Folge der Funktionswerte ist

1/n / ( 2/n^2 )  = n/2  geht für n gegen unendlich nicht gegen 0,

also g1 nicht stetig bei (0;0) .

Answer 2

Mit f_1 ist unstetig, da der Zähler in Polarkoordinaten proportional zu r^1 ist. Man kann da also zwei Wege suchen, auf denen sich unterschiedliche Grenzwerte bei Näherung an (0,0) ergeben.

Mit f_2 und f_3 sind sie stetig, da diese proportional zu r^3 bzw. r^{5/2} sind. Wenn du dann durch (x^2 +y^2)=r^2 teilst bleibt noch r^1 bzw. r^{1/2} stehen als Faktor, und dass strebt gegen 0 für (x,y) ---> (0,0)