Das Produkt zweier Zahlen aus M liegt wieder in M ... ?

Question

ich verstehe nicht so ganz wie ich folgende Aufgabe lösen soll der beweisen soll. Undzwar geht es um folgendes:

Es sei $$M := \{{n}^{2} + {m}^{2}| n,m \in \mathbb{Z}\}$$

,d.h. die Menge aller 'Zwei-Quadrate Summen'. Nach einer Behauptung von Diophantes von Alexandria liegt das Produkt zweier Zahlen aus M ebenfalls wieder in M. Ist diese Behauptung richtig ?

Hinweis:
Betrachten Sie jeweils für $$n,m \in \mathbb{Z}$$ das Quadrat des Betrages der Zahl
$$ z := n + j*m$$

Der Hinweis bringt mich auch nicht weiter. Hoffe das mir dabei jemand helfen kann.

VG :)

Answer 1

Es sei $$z = n + jm \quad n,m \in \mathbb{Z}$$ dann ist $$|z|^2 = n^2 + m^2 \quad \in \mathbb{M}$$ Element der Menge aller 'Zwei-Quadrate-Summen'. Das gilt für jedes \(z\) dieser Form, also ist auch$$|z \cdot z_2|^2 \space \in \mathbb{M}$$ mit \(z_2 = a + jb \quad a,b \in \mathbb{Z}\). Man muss also nur zeigen, dass $$|z|^2 \cdot |z_2|^2 = |z \cdot z_2|^2 \space \in \mathbb{M}$$ ist. Damit wäre bewiesen, dass jedes Produkt zweier Elemente aus \(\mathbb{M}\) wieder Element aus \(\mathbb{M}\) ist. $$\begin{aligned} |z\cdot z_2|^2 &= | (n + jm)(a + jb) |^2 \\ &= | (na - mb) + j(ma + nb) |^2 \\ &=  (na-mb)^2 + (ma+nb)^2 \\ &= (na)^2 - 2nmab + (mb)^2 + (ma)^2 + 2nmab + (nb)^2 \\ &= n^2(a+b)^2 + m^2(a+b)^2 \\ &= (n^2+m^2)(a+b)^2 \\ &= |z|^2 \cdot |z_2|^2 \quad \text{q.e.d.} \end{aligned}$$

Answer 2

Seien m²+n² und a²+b² zwei solche Zahlen.

Ihr Produkt ist  (m²+n²)(a²+b²)=(ma)²+(na)²+(mb)²+(nb)²

Wir addieren und subtrahieren auf der rechten Seite das Produkt 2mnab:

...= (ma)²+(na)²+(mb)²+(nb)² +2mnab -2mnab

...und sortieren die Summanden um:

... = (ma)²+2mnnb+(nb)² + (na)²-2mnab+(mb)²

... und wenden die binomischen Formeln an:

...= (ma+nb)² + (na-mb)²

Damit ist das Produkt (m²+n²)(a²+b²) auch als Summe der Quadratzahlen  (ma+nb)² und (na-mb)² darstellbar. 

Comments

Ok das habe ich jetzt verstanden.

Jedoch: Was ist denn mit der komplexen Zahl z im Hinweis gemeint. Muss ich damit nichts machen ? Danke auf jeden Fall bis hierhin.

VG :)

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j ist einfach nur eine Variable wie k oder a oder v oder Banane.

Es ist nicht die imaginäre Einheit.

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Es ist nicht die imaginäre Einheit.

Doch !

Und außerdem ist |z_1·z_2|^2 =  |z_1|^2·|z_2|^2

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Ok.

Auf so eine hirnrissige Idee muss man aber erst einmal kommen, ein simples reelles Problem mit komplexen Overkill lösen zu wollen.

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Inwiefern bringt man dann die komplexe Zahl nun in den Beweis, den Gast62 geschildert hat, ein?

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Gar nicht, weil es nicht nötig ist.

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Gar nicht, weil es nicht nötig ist.

ja - es ist nicht nötig. Aber IMHO hat lerxx nicht danach gefragt, ob es nötig ist, sondern wie man den Beweis über die komplexen Zahlen führt.

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Wenn ich richtig lese hat er gefragt, wie man das in den von mir geschilderten Beweis einbringt.

;-)

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Ja also grundsätzlich frage ich mich das, weil der Teil der komplexen Zahl ja als "Hinweis" angegeben war. Ich muss eine solche Übungsaufgabe mit dem gleichen Hinweis in der Uni bearbeiten und bin mir nicht sicher ob denen ein Beweis ohne komplexe Zahl ausreicht. :)

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Ich verfolge das jetzt nicht weiter. Würde ich es tun, würde ich möglicherweise den Ansatz

$$z_1=n+ j \cdot m$$ und

$$z_2=a+ j \cdot b$$ probieren und den Betrag von $$z_1\cdot z_2$$ untersuchen.

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Warum mache ich das denn in Beträgen also |z1*z2| ?

VG :)

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Ich beziehe mich mit der Anregung auf den Kommentar von Gast hj2166, der möglicherweise mehr weiß, als er preisgibt (oder es war von ihm auch nur eine vage Idee).

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der möglicherweise mehr weiß, als er preisgibt

Tatsächlich könnte ich noch als kleine Zugabe verraten, dass das Quadrat der imaginären Einheit -1 ist.

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Das ist mir ja klar aber würde es nicht ausreichen, wenn ich beide quadriere ?

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@lerxx: ich habe eine Antwort hinzugefügt, die Deine Frage hoffentlich beantwortet.