hilfe beweis primzahlen induktion

Question

Zeigen Sie:


1. eine Zahl ist genau dann Primzahl, falls gilt


∀n,m∈ℕ: p|n*m ⇒ (p|n ∨ p|m).

Hinweis: Teilung mit Rest


2. Jede natürliche Zahl n≥2 ist ein Produkt von Primzahlen.


3. Zeigen Sie, dass die gefundene Faktorisierung bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.

Answer 1

Die Aussage 2 ist falsch. Jede Primzahl ist kein Produkt von Primzahlen.

Comments

da steht aber ja jede nartürliche zahl größer als zwei ist ein produkt von primzahlen

die aussage ist meiner meinung nach wahr

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Die Aussage 2 ist falsch

Meinst du vielleicht Aussage 3 ?

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https://www.uni-siegen.de/fb6/analysis/overhagen/vorlesungsbeschreibungen/skripte/elzth1.pdf

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"da steht aber ja jede nartürliche zahl größer als zwei ist ein produkt von primzahlen

die aussage ist meiner meinung nach wahr"

Jetzt mal ganz hart: Deine Meinung zählt zu diesem Thema (vorerst) nicht.

Wenn du uns jetzt als "Argument" ein dutzendseitiges Dokument deines Profs hinknallst: So nicht.

Erstens: Zeige uns, dass (z.B.) die Zahl 5 (so wie deiner Meinung nach jede Zahl) ein Produkt von Primzahlen ist.

Zweitens: Wenn du meinst, dass im Script des Profs steht, dass du Recht hast mit deiner Annahme, dann knalle uns nicht den ganzen Text als Lesevergnügen hin. Sage konkret, auf welcher Seite etwas steht, das deine Annahme stützt.

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Das Problem ist außerdem, dass natürlich  5 = 5·1  gilt, womit (2.) gerettet wäre, weil die Zahl 1 die Bedingung (1.) erfüllt und danach tatsächlich Primzahl wäre. (Der Fragesteller hat die Aufgabe unzulässig gekürzt.) Allerdings ist dann auch  5 = 5·1·1 , also geht die Eindeutigkeit verloren, (3.) wäre also falsch.

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Sorry.  Ich verstehe aber nicht weshalb die Aussage: jede Nartürliche Zahl größer gleich 2 ist ein produkt von Primzahlen. Falsch ist. Im skript steht das ja auch oder verstehe ich die Argumentation falsch?

Satz 1.3. Jede positive natürliche Zahl ist Produkt von Primzahlen.
Beweis. Die Zahl 1 ist das leere Produkt. Sei nun n ≥ 2, und per Induktion sei angenommen, dass die Behauptung für alle kleineren natürlichen Zahlen gilt. n besitzt einen Primteiler p, und es ist n = pm mit m ∈ N+. Ist m = 1, so ist n = p prim, ansonsten ist m > 1 und daher m < n. Nach Induktionsvoraussetzung lässt sich also m als Produkt
m = p1 · · · pk mitPrimzahlenp1,...,pk schreiben.Folglichist
n = p · p = p·1 · · · pn
ebenfalls Produkt von Primzahlen.
Ziel dieses Abschnittes ist es zu zeigen, dass diese Produktdarstellung bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist. Dazu sei als Hilfsmittel zunächst der Divisionsalgorithmus beschrieben.

Aus http://www2.math.uni-wuppertal.de/~schuster/teaching/vorlesungen/vorkurs/kap5.pdf

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Es hat sich eigentlich in Mathematikerkreisen die Festlegung weitestgehend durchgesetzt, dass 1 KEINE Primzahl ist.

Wenn dein Professor da sein eigenes Süppchen kocht und eine Theorie zusammenwurstelt, in der 1 als Primzahl zählt, schafft er damit möglicherweise auch ein in sich stimmiges Konzept. Die Abweichung von der allgemein anerkannten Konvention schafft dann natürlich Verständigungsprobleme mit Personen außerhalb seines Dunstkreises, für die der Begriff Primzahl eine andere Bedeutung hat.

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Der Prof behauptet nicht, dass 1 eine Primzahl ist.

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Man könnte auch einfach die Meinung vertreten, dass die Zahl 5 dem Produkt

$$ 5 = \prod_{a\in\lbrace 5 \rbrace} a$$

entspricht und somit ein Produkt von Primzahlen ist. Also, dass ein Produkt nicht zwingend aus mindestens zwei Faktoren bestehen muss.