Hallo Caro,
a) Bijektivität ist doch äquivalent zur Existenz einer Umkehrabbildung. Da \(f\) bijektiv ist existiert eine Abbildung \(f^{-1} \) mit
$$ f^{-1} \circ f = id_A, \quad f \circ f^{-1} = id_B $$
Mit diesem Wissen können wir uns ganz einfach eine Umkehrabbildung für g definieren. Setze
$$ h: B \times C \to A \times C, ~(b,c) \mapsto (f^{-1}(b), c) $$
Dann gilt für Elemente \( (a,c) \in A\times C\):
$$ (h \circ g) ((a,c)) = h(g((a,c))) = h((f(a),c)) = (f^{-1}(f(a)),c) = (a,c) $$
und für Elemente \( (b,c) \in B\times C \):
$$ (g \circ h)( (b,c)) = g(h((b,c))) = g((f^{-1}(b),c)) = (f(f^{-1}(b)),c) = (b,c) $$
also ist
$$ h \circ g = id_{A\times C},\quad g \circ h = id_{B\times C} $$
d.h. g ist bijektiv.
b) Wir können hier Aufgabenteil a) verwenden. Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung \( M \to \mathbb{N} \) gibt. Wir zeigen die Aussage mit vollständiger Induktion über k.
IA:
k = 1: klar, \( \mathbb{N} = \mathbb{N}^1 \) ist abzählbar unendlich
k = 2: Hast du hier ein Idee? Gesucht ist eine bijektive Abbildung \( \varphi: \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N} \)
IV: \( \mathbb{N}^k \) ist abzählbar unendlich für ein \( k \in \mathbb{N} \)
IS: k -> k+1
Aus der IV folgt es existiert eine bijektive Abbildung \( g_k : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N} \), denn \(\mathbb{N}^k \) ist abzählbar unendlich. Teil a) sagt, dass die Abbildung
$$ \tilde{g}_{k+1} : \underbrace{\mathbb{N}^k \times \mathbb{N}}_{=\mathbb{N}^{k+1}} \to \underbrace{\mathbb{N} \times \mathbb{N}}_{=\mathbb{N}^2}, (x,y) \mapsto (f_k(x), y) $$
bijektiv ist. Jetzt setzen wir einfach \( g_k := \varphi \circ \tilde{g}_{k+1} : \mathbb{N}^{k+1} \to \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N} \). Als Komposition von bijektiven Funktionen ist diese Funktion sicher bijektiv und somit ist \( \mathbb{N}^{k+1} \) abzählbar unendlich. \( \Box \)
Grüße
EmNero
