Welche der folgenden Teilmengen von V sind UVR? Bsp. U1 = {f ∈ V | f(1) = f(5)}

Question

Es sei V = Abb(Z, R) der R-Vektorraum aller Abbildungen f : Z →
R. Welche der folgenden Teilmengen von V sind Untervektorräume?
U1 = {f ∈ V | f(1) = f(5)}
U2 = {f ∈ V | f(2) = f(1)2
}
U3 = {f ∈ V | f(−n) = −f(n) für alle n ∈ Z}
U4 = {f ∈ V | die Menge {n ∈ Z | f(n) 6= 0} ist endlich}

Answer 1

f,g ∈ U1 ==>   f(1)=f(5) und g(1) = g(5)

==>   (f+g)(1) = f(1)+g(1) = f(5) + g(5) = (f+g)(5)

also f+g  ∈ U1 =

entsprechend für alle c∈ℝ   c*f ∈ U1

und die =0-Abbildung  ∈ U1

Als U1 Unterraum.

U2  soll das hoch 2 heißen ?

Die anderen nach dem gleichen Muster.

Comments

Glaube das soll hoch 2 heißen

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Betrachte dazu  f mit f(x) = 0 für x ∉ {1;2}

und f(1)=1  und f(2)=1    und

g   mit g(x) = 0 für x ∉ {1;2}und f(1)= -1  und f(2)=1

Dann sind f und g aus U2 aber deren Summe nicht;

denn (f+g)(1) = 0

aber (f+g)(2) = 2

und 2 ≠ 0^2  .

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Wie würde man es denn für U4 beweisen?

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Hast du U4 überhaupt korrekt abgeschrieben?

U4 = {f ∈ V | die Menge {n ∈ Z | f(n) 6= 0} ist endlich}

Die Zahl 6 ist irgendwie am falschen Ort. Oder?