Zeigen sie, dass es höchstens ein alpha in K gibt mit alpha a+b in U

Question

Es geht um Aufgabe 3b)

Wie zeige ich, dass es höchstens ein alpha gibt, sodass die Bedingung gilt?

Answer 1

Angenommen es gäbe \(\alpha_1, \alpha_2\in K\) mit \(\alpha_1\ne\alpha_2\) so, dass \(\alpha_1 a+b\in U\) und \(\alpha_2 a+b\in U\) ist.

Da \(U\subseteq V\) ein Untervektorraum ist, ist dann auch \((\alpha_1 a+b)-(\alpha_2 a+b)\in U\), also \((\alpha_1-\alpha_2)a\in U\). Wegen \(\alpha_1\ne\alpha_2\) ist \(\alpha_1-\alpha_2\ne0\), weshalb es \((\alpha_1-\alpha_2)^{-1}\in K\) gibt. Damit ist dann mit \((\alpha_1-\alpha_2)a\in U\) auch \((\alpha_1-\alpha_2)^{-1}(\alpha_1-\alpha_2)a\in U\), also \(a\in U\). Dies ist jedoch im Widerspruch zu \(a\in V-U\).

Die Annahme ,es gäbe \(\alpha_1, \alpha_2\in K\) mit \(\alpha_1\ne\alpha_2\) so, dass \(\alpha_1 a+b\in U\) und \(\alpha_2 a+b\in U\) ist, ist demnach falsch gewesen. Es gibt höchtens ein \(\alpha\in K\) mit \(\alpha a+b\in U\).