Wie bekommt man schnell heraus ob ein Vektorraum ein Untervektoraum ist?

Question

Ich sitze gerade vor einer Aufgabe und überlege wie man schnell und sicher herausbekommt, dass dieser Vektorraum ein Untervektorraum ist.

Mal ein Beispiel aus dem Internet.

V = {(a,b,c)∈R^3|a=b*c}⊆R^3

Spontan würde ich davon ausgehen, dass es ein Vektorraum ist, denn der Nullvektor ist enthalten die Addition müsste auch abgeschlossen sein:

a+i=(b*c)+(j*k) =... =(b+j)*(c+k)  was, wie ich gerade sehen, nicht funktioniert, oder?

Jetzt müsste ich ja ein schönes Gegenbeispiel finden, gibt es da irgendwelche Tricks?

Answer 1

Wie bekommt man schnell heraus ob ein Vektorraum ein Untervektoraum ist?

Jeder Vektorraum ist ein Untervektorraum. Im Extremfall ist der Vektorraum W ein Untervektorraum von W.

Spontan würde ich davon ausgehen, dass es ein Vektorraum ist

Ach, jetzt geht's plötzlich um eine ganz andere Frage, nämlich darum, ob es ein Vektorraum ist. Es wäre günstig, wenn du dich vorher entscheiden könntest, was du eigentlich fragen möchtest.

denn der Nullvektor ist enthalten die Addition müsste auch abgeschlossen sein:

Und ist die Multiplikation mit Skalaren auch abgeschlossen. Das ist, soweit ich mich erinnern kann, auch notwendig für Vektorräume.

Jetzt müsste ich ja ein schönes Gegenbeispiel finden

Nein. Die Mittel, wie du zeigst, dass V kein Vektorraum ist, darfst du selbst wählen.

Comments

Hallo Oswald, danke für deine Antwort.

Ach, jetzt geht's plötzlich um eine ganz andere Frage, nämlich darum, ob es ein Vektorraum ist. Es wäre günstig, wenn du dich vorher entscheiden könntest, was du eigentlich fragen möchtest.

Naja, meiner Meinung nach dürfte es die selbe Frage sein oder?

Denn wie du schon sagst, ist jeder UVR auch ein VR. Mir geht es darum herauszufinden, ob ein Vektorraum A ein UVR von B ist, naja vielleicht sollte ich mich tatsächlich besser ausdrücken, sorry:=)

Und ist die Multiplikation mit Skalaren auch abgeschlossen. Das ist, soweit ich mich erinnern kann, auch notwendig für Vektorräume.

Richtig, nur habe ich gerade beim schreiben herausgefunden, dass mit der Addition vielleicht was nicht stimmt und dort aufgehört, es gibt ja 3 Kriterien.

Nein. Die Mittel, wie du zeigst, dass V kein Vektorraum ist, darfst du selbst wählen.

Wie meins du das?

Frage, liege ich denn überhaupt richtig mit meiner Vermutung, dass die Addition ein Problem darstellt? Nullvektor existiert ja und die Multiplikation sollte kein Problem darstellen. Obwohl α*a=a*(b*c)=a*b*c, müsste passen?

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Ist

(1)        v₁ = v₂·v₃ und w₁ = w₂·w₃,

dann gilt für die Summe

        (z₁ z₂ z₃)^T := (v₁ v₂ v₃)^T + (w₁ w₂ w₃)^T

nur dann z₁ = z₂·z₃, wenn

(2)        v₁+w₁ = (v₂+w₂)·(v₃+w₃)

ist. Einsetzen von (1) in (2) liefert

        v₂v₃+w₂w₃ = (v₂+w₂)·(v₃+w₃).

ausmultiplizieren liefert

         v₂v₃+w₂w₃ = v₂v₃+v₂w₃+v₃w₂+w₂w₃.

Dass ist nur dann erfüllt, wenn

        v₂w₃+v₃w₂ = 0

ist. Umformen nach v₂ liefert

(3)        v₂ = -v₃w₂/w₃.

Wähle w₂, w₃, v₃ beliebig mit w₃ ≠ 0.

Setze w₁ := w₂w₃. Dann ist (w₁ w₂ w₃)^T ∈ V.

Setze v₂ := -v₃w₂/w₃ + 1. Dann ist v₂ ≠ -v₃w₂/w₃, also ist (3) verletzt.

Setze v₁ := v₂v₃. Dann ist (v₁ v₂ v₃)^T ∈ V.

Weil (3) verletzt ist, ist (v₁ v₂ v₃)^T + (w₁ w₂ w₃)^T ∉ V. Also ist V kein Vektorraum. Ganz ohne Beispiel.

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ist jeder UVR auch ein VR

Ich habe umgekehrt gesagt, dass jeder VR ein UVR ist.

Das sagt aber nichts über V aus, weil ja noch nicht einmal klar ist, ob V ein VR ist.

Wenn V ein VR ist, dann ist V ein UVR von V und ein UVR von ℝ³.

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Danke, ich werde mir dies mal in Ruhe durchlesen:)

Answer 2

Nimm z.B. (1,1,1) dann ist 2*(1,1,1) nicht in V also ist V nicht abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation und dementsprechend auch kein VR.

Comments

Hallo EmNero, danke für deine Antwort.

Also es ist auch nicht abgeschlossen bezüglich der Multiplikation, hätte ich jetzt nicht gedacht.

Zu deinem Beispiel:

Warum ist (2,2,2) bzw. 2*(1,1,1) nicht in V?

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Ach bestimmt weil:

2*(1,1,1) = (2,2,2) , aber a=b*c also a=4 und somit ist (2,2,2)≠(4,2,2) ?

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Mmh ich glaube die Rechnung ist so falsch

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Oder doch nicht?

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Naja (2,2,2) ist nicht in V, da

$$ a= 2 \neq 4 = 2*2 = bc $$

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Also passt ja meine Rechnung

2*(1,1,1) = (2,2,2) , aber a=b*c also a=4 und somit ist (2,2,2)≠(4,2,2) ?

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Ja, passt doch.

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Würde gerne mal eine Frage zum Thema stellen.

Wenn wir R^3 durch C^3 ersetzen, gilt es dann dennoch? Also das Gegenbeispiel?

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Ja, natürlich.

(1,1,1) liegt ebenfalls im C³, genauso wie die Zahl 2 in C liegt. Es ist also sogar egal ob du C^3 als C oder R Vektorraum auffasst