Basis von Kern; Problem unterbestimmtes LGS lösen

Question

eine echt banale Frage:

Ich soll die Basis vom Kern(A) bestimmen. Ich erhalte ein LGS, wo ich in einer Zeile 3 Variablen habe, doch wie notiere ich dies als Basis?

Ker\( \begin{pmatrix} 3 & 6 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ -3 & -6 & 0 & 3 \\ 0 & 6 & 0 & 0  \end{pmatrix} \)

Nun erhalte ich das LGS:

a+b-d= 0 => a+b=d

c=s

Somit kenne ich einen Basisvektor, nämlich \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)  aus Gleichung 2, doch wie schreibe ich das nun für Gleichung 1?

Einen Parameter muss ich ja durch z.B. t ersetzen: a=t, richtig?

Danke für Eure Hilfe

Answer 1

ich erhalte aus

⎡  3  6  0  -3 ⎤      ⎡ a ⎤        ⎡ 0 ⎤
⎢  0  3  0   0 ⎥  *   ⎢ b ⎥   =   ⎢ 0 ⎥
⎢ -3  -6  0  3 ⎥      ⎢ c ⎥        ⎢ 0 ⎥
⎣  0  6  0   0 ⎦      ⎣ d ⎦        ⎣ 0 ⎦

⎡  3·a + 6·b - 3·d  ⎤           ⎡ 0 ⎤
⎢           3·b           ⎥    =     ⎢ 0 ⎥
⎢ - 3·a - 6·b + 3·d ⎥           ⎢ 0 ⎥
⎣           6·b           ⎦           ⎣ 0 ⎦

 b = 0  und   a = d  und  c beliebig 

also die allgemeine Lösung

⎡ a ⎤              ⎡ 1 ⎤             ⎡ 0 ⎤ 
⎢ 0 ⎥   =  a *  ⎢ 0 ⎥   +  c *  ⎢ 0 ⎥
⎢ c ⎥              ⎢ 0 ⎥             ⎢ 1 ⎥
⎣ a ⎦              ⎣ 1 ⎦             ⎣ 0 ⎦

Basisvektoren 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

danke für Deine Antwort zur späten Stunde.

ich hab das so gerechnet: die Matrix oben gekürzt:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \end{pmatrix} \)

ergibt: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), zusammengefasst ergibt es die folgende Zeile meiner Matrix: ( 1  1  0   -1)

und somit die Zeile: a+b-d=0, oder habe ich mich verrechnet?

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: a+b-d=0   ist ja mit b=0  nichts Neues  (a=d)   :-)

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Achso, ich wähle dann also beliebig a oder b als 0 und schreibe dann das als Basis hin, ja? Dabei spielt es keine Rolle, ob a=0 oder b=0?

Danke für Deine Geduld :)

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b = 0  (Z2)

c ist völlig beliebig (bleibt aber variabel!)      (Z3)

a = d  sind beliebig  (bleiben aber variabel!)   (Z1)

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Danke sehr für Deine Mühen heute Nacht!

Du hast es mir sehr gut erklärt...

Wünsche eine geruhsame Nacht :)