Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

\( \sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{1}{k(k-1)}} \) = 1 - \( \frac{1}{n} \) (n ≥ 2)

Answer 1

Für n=2 ist es wohl klar.

Summe bis n+1 = Summe bis n +    1/((n+1)*n)

Ind.Voraussetzung einsetzen

                = 1 - 1/n  +    1/((n+1)*n)      [ 1/n ausklammern ]

                =  1  -  1/n (  1 - 1/(n+1) )

                =  1 - 1/n * n/(n+1)   = 1 - 1 / (n+1)   .   q.e.d.