Extrema mit Nebenbediungen zu f(x,y,z)=xyz

Question

f(x,y,z)=xyz unter den Nebenbediungungen g(x,y,z)=x+y+z-5 und h(x,y,z)=xy+yz+zx-8

Dann ist F(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x+y+z-5)+μ(xy+yz+zx-8)

Partiell ableiten nach

x: yz+λ+μy+μz=0

y: xz+λ+μx+μz=0

z: xy+λ+μy+μx=0

λ: x+y+z-5=0  --> x=5-y-z

μ: xy+yz+zx-8=0

Kann mir jetzt jemand sagen, wie ich schnell sehe, wie ich die Gleichungen am besten auflöse? Gibt es da einen Trick? Oder muss ich eine Fallunterscheidung machen?

Answer 1

wie ich schnell sehe, wie ich die Gleichungen am besten auflöse

Üben.

Gibt es da einen Trick?

Nein.

Oder muss ich eine Fallunterscheidung machen?

Welche Fälle würdest du dann unterscheiden?

Comments

Sorry ich hab vorher vergessen mich anzumelden aber die Frage war von mir.

Ich hab versucht das ganze ein wenig umzuformen und habe die zweite Gleichung von der ersten abgezogen. Dann erhalte ich

yz+λ+μy+μu-xz-λ-μx-μz= 0

--> z(y-x)+μ(y-x)=0.

Fall 1: x≠y

 z=-μ (1)

Zieht man die dritte Gleichung von der zweiten ab erhält man analog

x(z-y)+μ(z-y)=0

einsetzen von (1)

x(-μ+y)+μ(μ-y)=0 --> -x(μ-x)+μ(μ-x)=0 -->-xμ+x²+μ²-μx=0--> x²-2μx+μ²=0

-->(x-μ)²=0--> x=μ (2)

 x=5-y-z=5-y+μ

aus xy+yz+zx-8 =0 folgt xy-yμ-μx-8=0 --> (5-y+μ)y-yμ-μx-8= 0 --> 5y-y² +μy-yμ-μx-8=0 --> 5y-y²-μx-8=0

 (2) einsetzten ergibt 5y-y²-x²-8=0

Stimmt das bis jetzt und wie löse ich weiter auf?

---

Also ich hab was anderes, hab es aber auch anders gerechnet.

im Fall z+μ≠0:

x1=y1=2,   x2=y2=4/3  z1=1, z2=7/3   μ1=2, μ2=4/3         λ1=-8, λ2=16/9

Im Fall z=-μ

z1=2, z2=4/3,  y1=2, y2=1 ,y3=4/3, y4=7/3  x1=1, x2=3, x3=7/3, x4=4/3.

und μ=-z.

Stimmt das oder gibt es einen rechner wo ich das überprüfen kann?

---

Kann mir vielleicht jemand sagen ob meine Antwort stimmt?

Und wenn nicht was ich falsch habe?