1. Auf Z sei die Relation ∼ wie folgt definiert:
a ∼ b : ⇐⇒ 4|(b − a),
wobei 4|x zu verstehen ist als 4 teilt x, d.h. x = 4k mit k ∈ Z.
a) Die Quotientenmenge hat die Gestalt Z/ ∼:= {[0], [1], [2], [3]}. Geben Sie zu jeder
Aquivalenzklasse vier Repr ¨asentanten an, von denen mindestens einer negativ
und mindestens einer positiv sein soll.
b) Zeigen Sie, dass es sich bei ∼ um eine Aquivalenzrelation handelt. ¨
Auf Z/ ∼ definieren wir eine Addition wie folgt:
[a] ⊕ [b] := [a + b].
c) Berechnen Sie, in welcher der Aquivalenzklassen [0] , [1], [2], [3] die Summen [3]⊕[2]
und [7] ⊕ [10] liegen.
d) Zeigen Sie, dass ⊕ repr¨asentantenunabh¨angig ist, d.h. fur beliebige a, a'
, b, b' ∈ Z gilt:
Ist a ∼ a'und b ∼ b', so gilt a + b ∼ a'+b'
Zusatzinformationen:
Man bezeichnet die oben definierte Quotientenmenge ublicherweise mit Z/4Z und die
Aquivalenzklassen [0] , [1], [2] und [3] nennt man Restklassen. Wenn wir ein Objekt defi-
nieren (wie beispielsweise die oben eingefuhrte Addition ⊕) und wenn diese Definition
vom gew¨ahlten Repr¨asentanten unabh¨angig ist, so sagt man auch, das Objekt sei wohl-
definiert.
BRAUCHE ZU ALLEM BITTE DIE EINZELNEN RECHENWEGE UND BEGRÜNDUNGEN ZU DEN RECHENWEGEN. VIELEN DANK!!
