Welche Abmessungen hat das Gebäude mit dem kleinsten Wärmeverlust?

Question

Hallo =)

Aufg.

Der umbaute Raum eines Bürogebäudes mit Flachdach und quadratischem Grundriss soll 12000 m³ betragen. Die Wärmeabstrahlung pro  m² durch das Dach sei dreimal so gross wie jene durch die Wände. Welche Abmessungen hat das Gebäude mit dem kleinsten Wärmeverlust?

 

Die Lösung wäre 20m breit und 30m hoch.

Ich verstehe aber überhaupt nicht wie ich darauf kommen soll =(

Danke für Hilfe

Answer 1

 

schön, dass Du die Lösung schon angegeben hast :-D

 

Der Rauminhalt des Bürogebäudes beträgt wegen der quadratischen Grundfläche

V = a² * h = 12000m³, also

h = 12000/a²

Das Dach hat eine Fläche von a²

Die Wände haben insgesamt eine Fläche von 4 * a * h

Die Wärmeabstrahlung beträgt laut Angabe

f(a) = 3 * a² + 4 * a * h

Wir setzen das h von oben ein und erhalten: 

f(a) = 3 * a² + 4 * a * 12000/a² = 3a² + 48000/a = 3a² + 48000a^-1

Dies soll minimiert werden. Dazu muss die 1. Ableitung = 0 sein (notwendige Bedingung) und die 2. Ableitung > 0 (hinreichende Bedingung). 

Die 1. Ableitung von f(a) lautet:

f'(a) = 6a - 48000a^-2

Die 2. Ableitung von f(a) lautet: 

f''(a) = 6 + 48000a^-3

Wir setzen f'(a) = 0: 

6a - 48000a^-2 = 0

6a = 48000a^-2

a = 8000a^-2 | * a²

a³ = 8000

a = 20

Bei a = 20 haben wir also einen Extremwert; damit dies ein Minimum ist, muss die 2. Ableitung > 0 sein; wir setzen ein: 

f''(20) = 6 + 48000*1/20³ > 0

Also ist eine Seite a der Grundfläche 20 Meter lang. 

Da der Rauminhalt

V = a² * h = 12000m³ sein soll, ergibt sich

V = (20m)² * h = 12000m³ | : (20m)²

h = 12000m³ / 400m² = 30m

 

Und dies entspricht genau Deiner Lösung :-)

 

Besten Gruß

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Vielen herzliche Dank für die ausführliche Erklärung =)