Question

Benutzen Sie die Taylor-Entwicklung für e^x, um eine unendliche Reihe für

x^λ =e ^λlog_e^(x)         zu bestimmen.

Benutzen Sie diese Taylor-Entwicklung, um zu zeigen, dass
(x^λ −1) / λ →log_e(x),           für λ→0.

Answer 1

Es gilt e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...

Dann gilt entsprechend

$$e^{\lambda \cdot ln(x)}=1+\lambda \cdot ln(x)+(\lambda \cdot ln(x))²/2!+(\lambda\cdot ln(x))³/3!+...$$

PS: Hast du in

 "um zu zeigen, dass (xλ −1) /1 ..."

eventuell einen Schreibfehler?

Comments

sorry da müsst eigentlich (x^λ −1)/ λ stehen

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Danke für die Klarstellung.

Wenn du von dem Term $$1+\lambda \cdot ln(x)+(\lambda \cdot ln(x))²/2!+(\lambda\cdot ln(x))³/3!+...$$

1 subtrahierst und durch λ teilt, bleibt

$$ ln(x)+\lambda \cdot (ln(x))²/2!+\lambda²\cdot (ln(x))³/3!+...$$

Was bleibt davon übrig, wenn λ gegen Null geht?