Sigmaumgebungen bei einer Binomialverteilung

Question

Mich würde interessieren, wie man eigentlich auf diese Wahrscheinlichkeiten(zB. 68%) der Sigmaumgebungen bei einer Binomialverteilung kommt. Hängt das mit der Gaußkurve zusammen? 

Answer 1

Ja. Daher gilt es auch nur wenn man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung nähern darf.

Comments

Erstmal lieben Dank für deine Antwort. Heißt das somit, dass wenn ich in einer Aufgabenstellung zB. das einfache Sigmaintervall zu einer bestimmten Aufgabenstellung bestimmen soll, ich noch zeigen muss dass die gegebene Binomialverteilung durch die Gaußkurve angenähert werden kann oder kann man das voraussetzen? Und wie lauten die Voraussetzungen?

:)

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Nach Moivre-Laplace darf man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern, wenn die Varianz (n*p*(1-p)) größer als 9 ist.

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Verstehe. Also somit muss die Standardabweichung größer als 3 sein?

Dann hätte ich dann noch eine Frage bezüglich dieser Standardisierung: Ich kenne zwar die Formel mit dieser Z-Transformation und verstehe wozu die gut ist, aber ich kann mir irgendwie nicht erklären, wie man auf diese kommt.

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Lange Zeit brauchte man zur Berechnung der Normalverteilung Tabellenwerte. Da es jetzt unendlich viele Normalverteilungen gibt und zwar zu jeder Kombination aus μ und σ eine bräuchte man unendlich viele Tabellen. Da das wie du dir sicher denken kannst zu aufwendig ist wird die Normalverteilung normiert auf die Standardnormalverteilung mit den Parametern μ = 0 und σ = 1.

Ab dann braucht man nur noch eine Tabelle

Man berechnet also die Normalverteilung über

P(a <= X <= b) = Φ((b - μ) / σ) - Φ((a - μ) / σ)

Die Binomialverteilung wird genähert über

P(a <= X <= b) = Φ((b + 0.5 - μ) / σ) - Φ((a - 0.5 - μ) / σ)

Die 0.5 darin ist die stetige Ergänzung.

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Danke. Also das mit den Gründen ist bereits klar. Mir ging es mehr um die Normierung an sich, also warum für die gilt:P(a <= X <= b) = Φ((b - μ) / σ) - Φ((a - μ) / σ). Ich verstehe nicht ganz warum (b - μ) / σ oder (a - μ) / gilt, also woher zum Beispiel der Bruchstrich und das Minuszeichen kommt. Wäre dir unheimlich dankbar, wenn du mir diese Formel plausibel machen könntest.

Liebe Grüße und besten Dank im Voraus.

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Nehmen wir mal an das Gewicht X von Milchbrötchen ist Normalverteilt mit μ = 40 g und σ = 2 g.

Könntest du diese Normalverteilung skizzieren?

Das sieht jetzt nicht im mindesten so aus wie die Standard-Normalverteilung. Was ist daran der Unterschied. Die Standard-Normalverteilung hat den Erwartungswert Null und nicht von 40. Du muss also den Graphen der Milchbrötchenverteilung nach links verschieben. Das erreicht man indem man von der Zufallsgröße μ = 40 subtrahiert.

Der erste Schritt ist gemacht. Nun sieht der Graph schon mehr wie die Standardnormalverteilung aus. Allerdings ist unsere Funktion gegenüber der Standard-Normalverteilung noch mit dem Faktor 2 in x-Richtung gestreckt. Das können wir korrigieren, indem wir durch eben diesen Faktor teilen.

Nach diesen 2 Maßnahmen hat man das Schaubild einer Standard-Normalverteilung.

Besser verständlich ist es sicher, wenn du dir die Graphen mal zeichnest.

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Prima herzlichen Dank!!:)