Alle komplexen Lösungen bestimmen von der quadratischen Gleichung z^2 + (i − 1)z − i = 0

Question

ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen, habe auch einen Ansatz, aber ich komme leider nicht mehr weiter

Die Aufgabe lautet :

Finden Sie alle komplexen Lösungen zu

 a)  z^2 + (i − 1)z − i = 0

Mein Problem/Ansatz:

ich habe hier bei die pq Formel benutzt, indem ich sage mein p= (i-z)  und q= -i

dementsprechend habe es in die Formel eingesetzt und bin bis hier hin gekommen : (1-i/2)

+ - Wurzel aus (1/2i)

ist eigentlich mein Ansatz bis hier hin richtig ? Wenn ja wie komme ich denn nun weiter.

Bitte helft mir:(((

Answer 1

Alternativ erkenne vielleicht die reelle Nullstelle z₁ = 1 und bestimme die restliche Nullstelle z₂ nach Vieta aus z₁·z₂ = -i.

Answer 2

z^2 + (i − 1)z − i = 0

z_1.2= - (i-1)/2 ± √(- (i-1)/2 )^2 +i)

z_1.2= - (i-1)/2 ± √(-(3i)/2)

z_1.2= - (i-1)/2 ± √(i/2) ------->√(i/2) -----> in die exponentielle Form umwandeln, dann in die arithm. Form

z_1.2= - i/2 +1/2 ±  1/2 +i/2

z₁=1

z₂= -i

Answer 3

$$z_{1,2}=-\frac{i-1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{i-1}{2}\right)^2+i}$$$$z_{1,2}=-\frac{i-1}{2}\pm\frac{1+i}{2}$$$$z_{1,2}=\frac{-i+1}{2}\pm\frac{1+i}{2}$$$$z_1=-i \quad \vee \quad z_2=1$$