Zeigen Sie, dass dann eine Gerade g ⊂ ℝ^2 existiert, sodass K_{1} ∩ K_{2} = g ∩ K_{1} gilt

Question

Aufgabe:

Seien $$K_1, K_2 \subset \mathbb{R}^2$$ zwei Kreise gegeben durch

$$K_1 =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x-a_1)^2 + (y- b_1)^2=r_1^2\}$$

$$K_2 =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x-a_2)^2 + (y- b_2)^2=r_2^2\}$$

mit $$a_1,a_2,b_1,b_2,r_1,r_2 \in \mathbb{R}, (a_1,b_1,r_1)\neq(a_2,b_2,r_2)~ und~ r_1,r_2>0$$.

Zeigen Sie, dass dann eine Gerade $$g \subset \mathbb{R}^2$$ existiert, sodass $$K_1\cap K_2 = g\cap K_1$$ gilt.

Problem/Ansatz:

Also ich habe bis jetzt verstanden, dass wir im Raum sind und das die Kreise nicht identisch sind. Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass die Gerade den Kreis in einem Punkt scheidet, also den Kreis nicht teilt, so dass dann $$K_1\cap K_2 = g\cap K_1$$ stimmt. Denn wenn sowohl die Gerade als auch der zweite Kreis den ersten Kreis teilen, so kommen verschiedene Schnittmengen zusammen.

Mir ist noch nicht eingefallen wie ich das zeigen soll. Ich habe noch keine Idee und das obwohl ich seit ein paar tagen dran sitze.

Answer 1

Also ich habe bis jetzt verstanden, dass wir im Raum sind .

Wohl nicht, da steht doch:  ℝ^2 , also die

Ebene eines 2-dim-Koordinatensystems.

Die Bedingung (a1,b1,r1)≠(a2,b2,r2)und r1,r2>0

heißt doch nur: Es gibt zwei Kreislinien, die beide aus

mehr als einen Punkt bestehen.

Dann hast du nur drei Fälle:

K1∩K2 = ∅, dann nimmst du eine Passante von K1.

K1∩K2 ist einelementig, dann nimmst du die

Tangente an K1 durch diesen Schnittpunkt.

K1∩K2 ist zweielementig, dann nimmst du

die Gerade durch diese beiden Schnittpunkte.

Comments

Ja $$\mathbb{R}^2$$= Raum sry dafür. Hab wohl nicht nachgedacht.

Mit den Kreisgleichungen

$$K1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x−a_1)^2+(y−b_1)^2=r_1^2\}$$

$$K2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:(x−a_2)^2+(y−b_2)^2=r_2^2\}$$

Hab ich das in der Vorlesung verstanden das diese einen Kreis mit Mittelpunkt darstellen, wobei $$(a_1,b_1)$$ und $$(a_2,b_2)$$ jeweils den Mittelpunkt darstellen.

Wir haben auch in der Vorlesung besprochen, dass man den Abstand der beiden Mittelpunkte mit der Summe der Radien vergleichen kann um so zu bestimmen, ob die Kreise sich in einem, in zwei oder in keinem Punkt schneiden.

Da wir jedoch keine Werte haben sonder es allgemein zeigen sollen weiß ich nicht mehr weiter.

Eine Gerade kann man ja definieren durch

$$g:=\{ (x_3,y_3) \in \mathbb{R}^2 : a_3 \cdot x_3+b_3 \cdot y_3=c\}$$

Aber weiter weiß ich nicht. Mein Kopf ist komplett leer bei dieser Aufgabe.