Knobelaufgabe zur Winkelberechnung im Dreieck

Question

Aufgabe:

Das ist kein Hilfegesuch, sondern eine Knobelaufgabe:

Man beweise, dass in einem Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen gilt:

w_β*(a+c) = 2*a*c*cos(β/2)

Tipp: Betrachte den Flächeninhalt des Dreiecks ABC
- einerseits als Summe der Inhalte der beiden durch die Winkelhalbierende w_β erzeugten Teildreiecke

- andererseits als eine im Ganzen zu berechnende Fläche.

Viel Vergnügen!

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Comments

Wenn das Quiz in den nächsten 48 h nicht beantwortet, würde es mich freuen, wenn du mir deinen Lösungsweg per E-Mail zukommenlassen würdest (siehe Profil) - oder besser: Du postest es als Kommentar!

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@Gats62

wenn ich jetzt du wäre, würde ich folgende Antwort schreiben:

 A_Δ  = 1/2 * Grundlinie * Höhe

Das wäre dann einer deiner geliebten Impulse :-)

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Ja. und nun muss man darüber nachdenken, warum in einer Formel, die mit Flächenberechnung zusammenhängen soll, auch eine Winkelfunktion vorkommt.

Answer 1

Im Dreieck gilt immer  A = 0,5*a*c*sin(ß)

Das gibt dann für die Teildreiecke und das ganze Dreieck

0,5*a*w_γ*sin(ß/2) +0,5*c*w_γ*sin(ß/2)  = 0,5*a*c*sin(ß)

also    (a+c)*wγ*sin(ß/2) = a*c*sin(ß)

fehlt noch sin(ß) / sin(ß/2) = 2 * cos(ß/2) besser

bekannt als Formel für den doppelten Winkel

sin(ß)  = 2 * cos(ß/2) * sin(ß/2) .

Comments

Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht :

Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten :  u/a = v/c  (u+v=b)
u^2•c^2  =  v^2•a^2  |  Kos.satz
( w^2 + a^2 - 2wa cos (β/2) )•c^2  =  ( w^2 + c^2 - 2wc cos (β/2) )•a^2
w^2•c^2 + a^2 c^2 - 2wac^2 cos (β/2)  =  w^2•a^2 + a^2 c^2 - 2wca^2 cos (β/2)  |  + (ac•cos (β/2))^2
(wc - ac cos (β/2))^2  =  (wa - ac cos (β/2))^2
(wc - ac cos (β/2))^2  -  (wa - ac cos (β/2))^2  =  0
((wc - ac cos (β/2)) + (wa - ac cos (β/2)) ) • ((wc - ac cos (β/2)) - (wa - ac cos (β/2)) )  =  0
(wc + wa - 2ac cos (β/2)) • (wc - wa)  =  0
w•(a+c) = 2ac cos (β/2)  oder  a=c (dann ist die Beh. die Def des cos im rechtw. Δ)

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@ mathef:

So isses.

@rc: Hast du wirklich befürchtet, dass das 48 Stunden dauern könnte?
Wenn sogar ich habe das rausbekommen habe, konnte das nicht so schwer sein.

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@abakus

das weiß ich nicht. Die Herleitung ist nicht schwer.