Zeigen Sie durch Betrachtung von Nullstellen, dass sin(x) und cos(x) linear unabhängig sind.

Question

Sei V = C (R) der reelle Vektorraum aller stetigen Funktionen f : R → R. Wir fassen die trigonometrischen Funktionen x → cos(x) und x → sin(x) als Vektoren cos, sin ∈ V auf. Zeigen Sie durch Betrachtung von Nullstellen, dass diese beiden Vektoren linear unabhängig sind.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie durch Betrachtung von Nullstellen, dass diese beiden Vektoren (sin(x) und cos(x)) linear unabhängig sind.

Stichworte: sinus

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Ich wollte mal nachfragen ob meine Lösung die ich ermittelt habe die richtige ist, da ich mir schwer vorstellen kann dass die Aufgabe so einfach ist,

Aufgabe:

Sei V = C (R) der reelle Vektorraum aller stetigen Funktionen f : R → R. Wir fassen die trigonometrischen Funktionen
x → cos(x) und x → sin(x) als Vektoren cos,sin ∈ V auf. Zeigen Sie durch Betrachtung von Nullstellen,
dass diese beiden Vektoren linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Sin(x) = 0     x=0; x=π;  x=2π; etc.. -> x=k*π mit k∈ℤ.
Cos(x) = 0    x=(1/2); x=(3/2)π; x=(5/2)π; etc--    -> x=(1/2)π + k*π mit k∈ℤ.

Zwei Vektoren sin(x) und cos(x) sind dann l.a. wenn der eine ein vielfaches vom anderen ist:

cos(x) = λ*sin(x)

Unter betrachtung der NST:

cos((1/2)π + k*π) = λ*sin(k*π)
cos((1/2)π + k*π) / sin(k*π) = λ

λ ist eine Konstante, der Term cos((1/2)π + k*π) / sin(k*π) jedoch NICHT, dies ist ein Widerspruch, darum sind die beiden Vektoren sin(x) und cos(x) linear unabhängig!

Stimmt der Ansatz so?

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Würdest du mir deinen Namen verraten , (bist anscheinend auf der HHU vll sogar ersti in Informatik könnten zs lernen wie ich sehe bist du ambitioniert....?)

Answer 1

 

die "Vektoren"  cos(x)  und sin(x)  sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung

λ · cos(x)  + μ · sin(x)  =  0     nur mit  λ = μ = 0  für alle x∈ℝ  richtig ist

mit  x = π/2    →   λ · cos(π/2)  + μ · sin(π/2)  =  0

                       →   λ · 0  +  μ · 1  = 0   →   μ = 0

mit  x = 0   analog   →  λ = 0

Gruß Wolfgang

Answer 2

Schreib doch einfach

λ·COS(x) = SIN(x)
λ = SIN(x)/COS(x)
λ = TAN(x)

λ sollte der konst. Proportionalitätsfaktor sein. TAN(x) ist allerdings nicht konstant.

oder mach es einfach so wie es in der Aufgabe gefordert wurde

Die Bedingung der Abhängingkeit ist leicht anders:

a·SIN(x) + b·COS(x) = 0

Hier muss es eine Lösung ungleich der Triviallösung a = b = 0 geben, damit SIN und COS linear abhängig sind.

Was passiert jetzt für x = 0

a·SIN(0) + b·COS(0) = 0
b = 0 --> b = 0

Was passiert für jetzt für x = pi/2

a·SIN(pi/2) + b·COS(pi/2) = 0
a = 0 --> a = 0

Es kann hier also nur die Lösung a = b = 0 geben, damit die Gleichung immer erfüllt ist.

Comments

Ein paar Zeilen vorher hatten wir bereits festgestellt, dass b = 0 sein muss.

Dann ist zusätzlich noch a = 0 also ist dann automatisch a = b = 0

a und b müssen ja feste Werte sein.

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Das heißt, dass wir die eigentliche Gleichung a·SIN(x) + b·COS(x) = 0  betrachten bei x=0. Dann fällt sin(0) = 0 weg, a*0 + b* 1 = 0 bleibt übrig. Soweit klar. Jetzt schauen wir an einer anderen Stelle, bei 1/2pi. b*0 fällt weg, a = 1 bleibt über. Warum sagt das jetzt automatisch aus, dass es die einzige Lösung ist?

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Weil da a=0 ist. Damit die Gleichung erfüllt ist unter der Betrachtung der Nullstellen müssen a=b=0 sein damit dies erfüllt ist, das heißt die Vektoren sind linear unabhängig.

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Warum sagt das jetzt automatisch aus, dass es die einzige Lösung ist?

Naja. Setz doch a = 5 ein. Warum ist die Gleichung dann nicht erfüllt? Wozu haben wir dann gezeigt, dass a = 0 sein muss, wenn du jetzt behaupten würdest es kann auch andere Lösungen geben?