Zum Ableiten Klammern auflösen oder unvereinfacht ableiten? y = e^(x - 2)·(4 - e^(x - 2))

Question

Aufgabe:

$$ f ( x ) = e ^ { x - 2 } \cdot \left( 4 - e ^ { x - 2 } \right) = 4 e ^ { x - 2 } - e ^ { 2 x - 4 } $$

Was bietet sich besser für eine Kurvendiskussuion an? Sollte man erst ausklammern und dann ableiten oder das so lassen und ableiten?

Comments

Dir liegt ja schon eine ausgeklammerte Version vor. Da brauchst du nicht auszuklammern. du kannst aber ausmiltiplizieren. Habe deine Fragestellung nun in der überschrift korrigiert.

Answer 1

In diesem Fall hätte ich erst die Klammer aufgelöst, weil man die Produktregel benutzt und nachher eh zusammenfassen muss. Dann ist der zweite Weg einfacher.

Mach doch einfach mal beide Wege und entscheide für dich was dir einfacher fällt.

y = e^(x - 2)·(4 - e^(x - 2)) = 4·e^(x - 2) - e^(2·x - 4)

y' = 4·e^(x - 2) - 2·e^(2·x - 4)

Comments

Hallo Enrico. Was meinst du denn ist falsch?

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Du hast doch die "beste Antwort" (?)

Vielleicht soll Enrico am Schluss nach ausklammern und erwartet so was:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(x+-+2)·(4+-+e%5E(x+-+2))

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(x+-+2)·(4+-+e%5E(x+-+2))

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es geht doch nicht nur um das Ableiten an sich. Wesentlicher ist, wie man für die folgenden Teilaufgaben weiterarbeiten muss.

1. Ableitung Null setzen: Produktform erwünscht

1. Ableitung ableiten für die 2. Ableitung: Summenform einfacher, zur Weiterbearbeitung Produktform besser

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Ohne Teilaufgabe geht es eben nur um das Ableiten. Und dann ist es egal wie man es macht, solange die Ableitung richtig ist.

Also ich würde ausmultiplizieren, dann beliebig viele Ableitungen bilden.

Für weitere Rechenteile z.B. das Nullsetzen einer Ableitung sollte dann ausgeklammert werden. Das kann man aber dann machen wenn es erforderlich ist.

Falls man mal eine Ableitung y' = x^2 + 5x + 6 bildet, faktorisiert man ja auch nicht gleich auf verdacht mit dem Satz von Vieta. Das macht man erst wenn es nötig ist.

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Ich habe den Flag entfernt, weil ich es vom Fragesteller frech empfinde etwas als falsch zu flaggen nur wenn vielleicht in der Musterlösung eine andere Schreibweise steht.

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"Ohne Teilaufgabe geht es eben nur um das Ableiten."

Einspruch.

"Ableiten" steht zwar im Titel, aber der erste Satz im Text ist

"Was bietet sich besser für eine Kurvendiskussuion an?" Somit ist klar, dass man mit der Ableitung weiterarbeiten will bzw. muss.

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Sollte man erst ausklammern und dann ableiten oder das so lassen und ableiten?

Es ging um die zitierte Frage.

Wobei der Fragesteller nicht kapiert hat was ausklammern überhaupt bedeutet.

Egal worum es geht. Es ist günstig

1. Die Klammer aufzulösen bzw. auszumultiplizieren.

2. Dann mind. 2 Ableitungen zu bilden.

3. Und bei der Nullstellenuntersuchung dann die gefundene Ableitung zu faktorisieren.

Man gewinnt keinen Vorteil wenn man die Faktorisierte Funktion ableitet.

y = e^(x - 2)·(4 - e^(x - 2))

Produktregel

y' = e^(x - 2)·(4 - e^(x - 2)) + e^(x - 2)·(- e^(x - 2))

y' = e^(x - 2)·(4 - e^(x - 2) - e^(x - 2))

y' = e^(x - 2)·(4 - 2·e^(x - 2))

Oder

y' = 4·e^(x - 2) - 2·e^(2·x - 4)

y' = 4·e^(x - 2) - 2·e^(2·(x - 2))

y' = e^(x - 2)·(4 - 2·e^(x - 2))

Aus Erfahrung weiß ich das sich Schüler mit der Produktregel und dem anschließenden Zusammenfassen außerordentlich schwer tun.

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Es ging mir darum, dass du zuerst eine falsche ableitung angegeben hattest und meine lerngruppe(ich eingeschlossen) konplett verwirrt waren.

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@Enrico: Der_Mathecoach hat von Anfang an die richtige Ableitung angegeben. Wenn nicht, gäbe es eine Bearbeitungsgeschichte, die man aufrufen könnte.