Konvergenz einer Summe (a_n) = summe (k = n + 1 bis 2n) k^-1

Question

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge (an)∞n=1 definiert durch a_n = \( \sum\limits_{k=n + 1}^{2n} \) k^-1
(n ∈ N) monoton wachsend ist und konvergiert.

Zeigen Sie weiter, dass für den Grenzwert a := limn→∞ a_n
die folgende Abschätzung gilt:
(7/12) ≤ a ≤ (5/6)
Hinweis: Betrachten Sie die Teilfolge (a_2n+1)∞_n=1.

Was ich bisher weiss ist, dass die Folge monoton wächst (hab ganz viele Werte eingesetzt und nachgeschaut) und es scheint das die Folge wie weiter in der Aufgabe erwähnt gegen etwas kleiner als (5/6) und größer als (7/12) (gegen ca 0.693).

Aber ich hab absolut keinen Plan wie ich aus k^-1 zeigen soll, dass es gegen solch einen Wert konvergiert. Ich kann auf jedenfall Konvergenz folgern, da die Folge monoton wächst, also a_n+1 ≥ a_n. Aber ich wüsste auch nicht wie ich das Formal korrekt beweisen müsste. Ich denke aber induktiv oder?

Ich erbitte hilfe!

Danke

P.S.: Der Hinweis der Aufgabe hilft mir null weiter.

Comments

Tipp: \(\displaystyle a_{n+1}-a_n=\sum_{k=n+2}^{2n+2}\frac1k-\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n+1}=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}>0\).