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gegeben sind folgende linearen Huellen:

$$U_1=r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\  3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{pmatrix}$$

$$U_2=t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\  2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\  9 \end{pmatrix}$$

$$Zu \space bestimmen \space ist \space nun \space U_1 \cap U_2$$

Also erstmal setzte ich beide gleich.

$$r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\  3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{pmatrix}=t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\  2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\  9 \end{pmatrix}$$

Nun wende ich den Gauss-Algorithmus an.

$$\begin{pmatrix} 1  & 0 & 0 & 3\\ 2 &1&2&0\\  3 &0&2&9\end{pmatrix}  \rightarrow  \begin{pmatrix} 1  & 0 & 0 & 3\\ 2 &1&2&0\\  0 &0&2&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1  & 0 & 0 & 3\\ 2 &1&0&0\\  0 &0&2&0\end{pmatrix}$$

So jetzt komme ich nicht weiter. Mein t ist  0. Aber was sagen mir die anderen Zeilen? Ist 2r + s = 0 ? Also 2r = -s ? Ist r = 3u ?

Was kann ich nun damit anfangen? Lineare Gleichungssysteme haben wir noch nicht behandelt, bitte um Hilfe.

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Ergibt sich vielleicht: $$r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\  3 \end{pmatrix} - 2r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\  9 \end{pmatrix}$$

$$ \iff  \begin{pmatrix} r \\ 2r \\  3r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2r \\  0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \\ 0 \\  3r \end{pmatrix} $$


$$\iff  \begin{pmatrix} r \\ 0 \\  3r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \\ 0 \\  3r \end{pmatrix}$$

$$\iff  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\  0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\  0\end{pmatrix}$$

?


Verstehe ich das richtig, dass das bedeutet, dass die Schnittmenge leer ist (bis auf den Nullvektor)?

Bei der letzten Umformung darfst du nicht einfach die r weglassen.

r ist beliebig. D.h. du hast zumindest eine Schnittgerade g: X = r*(1,0,3), r Element R gefunden.

Hm ich habe ich letzten Schritt eigentlich nur auf beiden Seiten das Negative des Vektors addiert. Warum darf ich das nicht?

Du suchst möglichst viele und nicht möglichst wenige Vektoren, die in beiden Ebenen liegen.

Ok das macht Sinn.

2 Antworten

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Die Lösung des GLS kommt auf

\(\left\{  \left\{ r = 3 \; u, s = -6 \; u, t = 0 \right\}  \right\} \)

Wenn Du t in U2 einsetzt erhältst Du die Schnittgerade \(X= u \left(3 \; , 0, 9 \;  \right)^T\)

und wenn Du r,s in U1 einsetzt erhältst Du \(X= u \left(3 \; , 0, 9 \;  \right)^T\)

also die gleiche Gerade.

Grundsätzlich kannst Du einen der Parameter festhalten, weil Du einen für die Gerade über haben musst - wenn eine existiert....

Du löst das GLS mit r,s,t

\(\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\2&1&-2\\3&0&-2\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}r\\s\\t\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}3\; u\\0\\9\; u\\\end{array}\right) \)

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Es wird vermutlich einfacher, wenn du die Parameterformen Gleichungen für die Ebenen U1 und U2 in die Koordinatenform umwandelst.

Dann kannst du die Schnittmenge der beiden Ebenen bestimmen.

(3,0,9) = 3* (1,0,3)

(1,2,3) - 2(0,1,0) = (1,0,3)

Darum ist schon mal (1,0,3) und alle Vielfachen davon in U1 n U2.

D.h. zumindest eine Gerade liegt in U1 n U2.

Avatar von 162 k 🚀

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