Gibt es lineare Abbildungen f: R^3 -> R bzw. g: R^3 -> R mit

Question

Aufgabe:

Gibt es lineare Abbildungen \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \)bzw. \( g: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}  \) mit

Beispiel: \( f(\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix})=2 \), \( f(\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}) = 3 \)

$$ f(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}) = 5, \quad g(\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}) = 7, \quad g(\begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}) = 11, \quad g(\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}) = 13, \quad g(\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}) = 17 $$

Berechnen Sie gegebenenfalls \( f(\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}) \) und \( g(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix})3  \)

Problem/Ansatz:

Leider helfen mir meine Mitschriften aus der Vorlesung nicht weiter. Hat das was mit dem Homomorphismus zu tun?

Answer 1

Hallo

 die 3 Vektoren für die du f kennst kann man als Basis des R^3 nehmen, wenn man das ild der Basisvektoren kennt, ist die Abbildung eindeutig definiert,

die 3 Vektoren deren Bild du für g kennst sind linear abhängig , wenn du v3=av1+bv2 schreiben kannst muss auch g(v3)=a*g(v1)+b*g(v2) sein, nur dann ist es eine lineare Abbildung.

Gruß  ledum

Comments

Also sowas wie

$$v1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

$$v2=\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$$

$$v3=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Oder wie meinst du das?