Seien f: R^2 -> R^3 und g: R^3->R^2 zwei lin. Abbildungen

Question

Text erkannt:

Aufgabe 51
Seien \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) und \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) zwei linearen Abbildungen mit
\( f(x, y)=(x, x+2 y, y), \quad g(x, y, z)=(x+z, 5 x-2 y+z) . \)
(i) Bestimmen Sie die Matrizen \( A \in \operatorname{Mat}_{3,2}(\mathbb{R}) \) und \( B \in \operatorname{Mat}_{2,3}(\mathbb{R}) \), die \( f \) und \( g \) beziehungsweise in der kanonischen Basis darstellen.
(ii) Berechnen Sie \( g \circ f \).
(iii) Zeigen Sie, dass \( g \circ f \in \operatorname{GL}\left(\mathbb{R}^{2}\right) \), und bestimmen Sie \( (g \circ f)^{-1} \).

Aufgabe:

Answer 1

Aloha :)

zu i) Bestimmung der Abbildungsmatrizen:

$$f(x;y)=\begin{pmatrix}x\\x+2y\\y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}}_{=A}\binom{x}{y}$$$$g(x;y)=\begin{pmatrix}x+z\\5x-2y+z\end{pmatrix}=x\binom{1}{5}+y\binom{0}{-2}+z\binom{1}{1}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\5 & -2 & 1\end{pmatrix}}_{=B}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

zu ii) Hintereinanderausführung berechnen:

$$(g\circ f)(x;y)=BA\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\5 & -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 2\\0 & 1\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\3 & -3\end{array}\right)}_{=C}\binom{x}{y}$$

zu iii) Invertieren der Matrix \(C\)

Wegen \(\operatorname{det}(C)=-6\ne0\) ist die Matrix invertierbar, d.h. \(C\) bzw. \((g\circ f)\in GL(\mathbb R^2)\).

Die Inverse Matrix lautet:$$C^{-1}=\frac16\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\3 & -1\end{array}\right)$$

Comments

Vielen Dank!