Seien f : V -> V und g: V -> V 2 lin. Abbildungen sodass f Ring g = g Ring f

Question

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Aufgabe 49
Seien \( f: V \rightarrow V \) und \( g: V \rightarrow V \) zwei linearen Abbildungen sodass \( f \circ g=g \circ f \). Zeigen Sie, dass
\( g(\operatorname{Kern}(f)) \subset \operatorname{Kern}(f), \quad g(\operatorname{Im}(f)) \subset \operatorname{Im}(f) . \)

Answer 1

Sei y∈g(Kern(f)) .Dann musst du zeigen: y∈Kern(f), also

zeigen, dass f(y)=0 gilt.

Wegen y∈g(Kern(f)) gibt es ein x∈Kern(f) mit y = g(x)

                    ==>           f(y) = f(g(x)  nach Vor. (fog=gof) also

                   ==>          f(y) = g(f(x)) . Da x∈Kern(f) gilt f(x)=0

                 ==>        f(y) = g(0) = 0 , weil g lin. Abb.     q.e.d.

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