Wie untersuche ich folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz und bestimmten Sie falls möglich den Wert der Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2k}{k!}} \)

Problem/Ansatz:

Bis dahin bin ich gekommen, aber weiß 1. nicht ob das bis dahin richtig ist und wie ich jetzt weiter machen soll. Wäre super, wenn ihr mir dabei helfen könntet.

Answer 1

Aber du weißt hoffentlich, wie sich k!/(k+1)! vereinfachen lässt?

Aber das nur nebenbei.

Ziehe aus der Reihe den Faktor 2 vor das Summenzeichen.

Kürze den Bruchterm mit k.

Führe dann eine Indexverschiedung durch, damit die Geschichte bei k=0 beginnt.

Du erhältst mit der Summe eine bekannte Reihenentwicklung.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Könntest du die Indexverschiebung einmal vorrechnen und hier posten? Ich bin was das angeht noch totaler Anfänger..

LG

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IchHabe die Aufgabe so gelöst. Ist das so auch richtig?

Answer 2

$$\frac{2k}{k!}=\frac{2k}{k*(k-1)!} = \frac{2}{(k-1)!}$$

Comments

Ist das so korrekt? Kann ich den Bruch unten so kürzen?

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Warum nicht?

Wo siehst du ein Problem?

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Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Fakultäten so kürzen kann, aber sollte ja gehen.

Also ist die Aufgabe so korrekt?

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Ja, klar, gleiche Dinge kann man kürzen in Produkten.