Dimension von Untervektorräumen

Question

Für α ∈ ℝ betrachten wir im R^(5) die Vektoren 

u_1 = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\4\\0\\-2 \end{pmatrix} \), u_2 = \( \begin{pmatrix} 2\\2\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \), u_3 = \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \), u_α = \( \begin{pmatrix} -5\\7\\0\\0\\α \end{pmatrix} \),

sowie den Untervektorraum W := {(w1,w2,w3,w4,w5)^(T) ∈ R^(5 Ι w1 + 2w2 - w5 = 0  }.

(a) Bestimmen Sie alle α ∈ R, für die u1,u2,u3 uα linear unabhängig/ abhängig sind.

(b) Für welche α ∈ Rgibt es ein w ∈ R^(5) so, dass L(u1,u2,u3,u1+u2,uα,w ) = R^(5)?

(c) Bestimmen Sie jeweils eine Basis und die Dimension von W und L(u1,u2,u3) ∩ W.

musste grad alles nochmal abschreiben war echt frustrierend^^

Da ich die Vorlesung nicht besuchen werden kann, brauche ich alle hilfe die ich bekommen kann. Am Freitag muss ich es fertig haben.

Vielen DAnk

immai

Comments

Hallo

 denkst du wirklich wir machen einfach deine Übungen für dich, und sind dann schuld, wenn du durch die Klausur fällst?

lul

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Uch werde ja lernen,

Und gerade wenn ich sehe wie es geht :)

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Für welche α ∈ Rgibt es ein w ∈ R^(5) so, dass L(u1,u2u3,u1+u2,uα,w ) = R^(5)?

Es ist nicht klar, was u2u3 ist und u ist nicht definiert.

Answer 1

Bestimmen Sie alle α ∈ R, für die u1,u2,u3 uα linear unabhängig/ abhängig sind.

Die Vektoren (v₁, v₂, ..., v_n) sind genau dann lineare unabhängig, wenn die Gleichung

        α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n = 0

eindeutig lösbar ist.

Die Gleichung ist immer lösbar, nämlich durch α₁ = α₂ = ... = α_n = 0. Lineare Unabhängigkeit besagt, dass das die einzige Lösung ist.

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung in Abhängigkeit von α und entscheide dann, für welche Werte von α sie einelementig ist.

Für welche α ∈ Rgibt es ein w ∈ R^(5) so, dass L(u1,u2,u3,u1+u2,uα,w ) = R^(5)?

Das ist der Fall, wenn (u1,u2,u3,uα) linear unabhängig ist.

Comments

Könntest du mir bitte weiter helfen

Bin am verzeifeln :(

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Bitte entschuldige, dass mein Aussage: "Es ist nicht klar, was u2u3 ist und u ist nicht definiert." so missverständlich war. Ich hätte (hoffentlich dieses mal verständlicher) formulieren sollen:

        "Was ist u2u3 und was ist u?"

um wirklich keinen Zweifel daran zu lassen, dass du aufgefordert bist, dazu eine Antwort zu liefern.

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u_2 und u_3

Was meinst du genau? :)

Ich habe die aufgabe so abgeschrieben wie es stand ^^

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u2 ist ein Vektor. u3 ist ein Vektor.

u2u3 ist also eine Verknüpfung von zwei Vektoren. Welche Veknüpfung ist gemeint. Das Skalarprodukt kann es nicht sein, weil das ein Skalar liefert. Addition kann es auch nicht sein, weil die mittels u2+u3 notiert wird.

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ich hab nochmal nachgesehen, da fehlt ein komma^^

mist^^

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Ich habe das Komma in deiner Frage und meiner Antwort ergänzt.

\(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_\alpha\) sind linear unabhängig, wenn das Gleichungssytem

\(x_1\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\4\\0\\-2 \end{pmatrix} +x_2 \cdot \begin{pmatrix}2\\2\\0\\0\\0 \end{pmatrix} +x_3 \cdot \begin{pmatrix} 3\\-1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} + x_4 \cdot \begin{pmatrix} 5\\7\\0\\0\\\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

eindeutig lösbar ist. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

Die Antwort bei b) ist die gleiche wie bei a).

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Vielen dank

Und wie geht die c noch?

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w₁ + 2w₂ - w₅ = 0

Umstellen nach w₅ ergibt

        w₅ = w₁ + 2w₂.

Also ist

\( \begin{aligned} W &= \left\{ \begin{pmatrix} w_1\\w_2\\w_3\\w_4\\w_1+2w_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^5 | w_1,w_2,w_3,w_4\in\mathbb{R}\right\}\\ &=\left\{ \begin{pmatrix} w_1\\0\\0\\0\\w_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\w_2\\0\\0\\2w_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\0\\w_3\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\w_4\\0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^5 | w_1,w_2,w_3,w_4\in\mathbb{R}\right\}\\ &=\left\{ w_1 \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} + w_2 \begin{pmatrix}  0\\1\\0\\0\\2 \end{pmatrix} + w_3 \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}  + w_4 \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} | w_1,w_2,w_3,w_4\in\mathbb{R}\right\} \end{aligned} \)

Demanch ist

\(B_W := \left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \right\}\)

ein Erzeugendensystem von \(W\). Weil es linear unabhängig ist, ist es auch eine Basis von \(B_W\).

Eine Basis von L(u₁, u₂, u₃) ∩ L(v₁, v₂, v₃) bekommt man indem man das Gleichungssystem

        α₁u₁ + α₂u₂ + α₂u₃ = β₁v₁ + β₂v₂ + β₃v₃

löst.