Aufgabe:
Gegeben sind die beiden Vektoren:
$$a=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Zeigen sie, dass die beiden Vektoren eine linear unabhaengige Teilmenge des R4 bilden.
Problem/Ansatz:
Die lineare Unabhaengigkeit zu zeigen ist einfach.
$$s \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Jetzt kann bei Zeile (III) ich sofort ablesen, dass 2t=0 und damit t=0 ist.
Jetzt setze ich das in Zeile (II) ein und erhalte 3s=0 und damit s=0.
Die Vektoren sind also linear unabhaengig.
Soweit so gut, wie zeige ich nun aber, dass die Vektoren eine Teilmenge des R4 bilden?
Mein Ansatz: Jeder Vektor , der als Linearkombination von a und b dargestellt werden kann, muss ja dann auch im R4 sein.
Also sehe ich mir nun an, welche Vektoren von a und b erzeugt werden. Dafuer setze ich:
$$s \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$$
Nun kann ich sofort ablesen, dass:
$$2t = x_3 \iff t= \frac{x_3}{2}$$
Setze ich das in (IV) ein, so erhalte ich:
$$2s+t=x_4 \iff 2s + \frac{1}{2}x_3 = x_4 \iff 2s=x_4-\frac{1}{2}x_3 \iff s=\frac{2x_4-x_3}{2}$$
So, jetzt ist hier mein erstes Problem: Ist das ueberhaupt richtig oder muss ich erst noch (I) und (II) pruefen?
Angenommen dass ich bis hierhin alles richtig gemacht habe, dann sage ich jetzt, dass ein beliebiger von a und b erzeugter Vektor so aussieht (x3 und x4 aus R):
$$\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} =s \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=(\frac{2x_4-x_3}{2}) \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+ (\frac{x_3}{2}) \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2x_4-x_3}{4} \\ \frac{6x_4-x_3}{4} \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$$
Kann ich jetzt einfach sagen, dass dies eine Teilmenge des R4 darstellt?
Eine Basis des R4 ist ja:
$$r \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Setze also:
$$r=\frac{2x_4-x_3}{4}$$
$$s=\frac{6x_4-x_3}{4}$$
$$t=x_3$$
$$u=x_4$$
Das darf ich ja, oder nicht? Dann waere der Beweis fertig so wie ich das sehe.
Ich das soweit richtig? Ueber Antworten wuerde ich mich sehr freuen!
