Extremalaufgabe, Zylinder, Ableitung

Question

Die Aufgabe lautet: Es sollen zylindrische Dosen mit einem Volumen von 1 Liter hergestellt werden. Wie sind der Radius und die Höhe zu wählen, damit die gesamte Nahtlinie aus Mantellinie, Deckel- und Bodenrand minimal sind?

Lösungsatz:

Extremalbedingung :

2 · 2 π r+h = L

4 π r + h    = L

usw.

Jetzt ist meine Frage wie man von L(r) = 4 · π r + 1/ π · r ^-2    zu L´(r) = 4π - 2/π · r ^-3         zu L´(r)= 4π- 2/π r³      kommt.

^{Ps. 1/π soll ein Bruch sein}

Answer 1

Nebenbedingung:
V = pi·r^2·h → h = V / (pi·r^2)

Hauptbedingung:
L = 2·(2·pi·r) + h = 4·pi·r + V/(pi·r^2)
L' = 4·pi - 2·V/(pi·r^3) = 0 → r = (V/(2·pi^2))^(1/3)