Question

Beweis durch vollständige Induktion:

\( G(n): \prod \limits_{i=1}^{n} 4^{i}=2^{n(n+1)}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \)

Comments

Schaffst du den Induktionsanfang. Also zu zeigen das es für n = 1 gilt ?

Wenn du das getan hast brauchst du nur noch zeigen das es für n+1 gilt unter der Bedingung das es auch für n gilt.

Answer 1

Für n = 1 gilt die Gleichung, denn:

$$\prod _{ 1 }^{ 1 }{ { 4 }^{ i } }={ 4 }^{ 1 }={ 2 }^{ 2 }={ 2 }^{ 1*2 }={ 2 }^{ 1(1+1) }$$I.V.: Gelte für festes m ≥ n$$\prod _{ 1 }^{ m }{ { 4 }^{ i } }={ 2 }^{ m(m+1) }$$I.B.: Dann gilt für m+1:$$\prod _{ 1 }^{ m+1 }{ { 4 }^{ i } }={ 2 }^{ (m+1)(m+2) }$$Beweis:$$\prod _{ 1 }^{ m+1 }{ { 4 }^{ i } }$$ $$=\prod _{ 1 }^{ m }{ { 4 }^{ i } }*{ 4 }^{ m+1 }$$gemäß I.V.$$={ 2 }^{ m(m+1) }*{ 4 }^{ m+1 }$$ $$={ 2 }^{ m(m+1) }*{ 2 }^{ m+1 }*{ 2 }^{ m+1 }$$ $$={ 2 }^{ m(m+1)+2(m+1) }$$ $$={ 2 }^{ (m+1)(m+2) }$$Damit gilt wegen des Axioms von der vollständigen Induktion:$$\prod _{ 1 }^{ n }{ { 4 }^{ i } }={ 2 }^{ n(n+1) }$$für alle n ∈ N, n ≥ 1

q.e.d.