Rechtsnebenklassen und abelsche Gruppe zeigen

Question

Aufgabe:

Es ist U = {id, (123), (132)} ≤ S₃ (U entspricht der Menge an Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks)

• Bestimmen Sie die Rechtsnebenklassen von U in G.

Die Rechtsnebenklasse U · id besteht nur aus Drehungen. Welche Elemente enthalten die anderen Rechtsnebenklassen?

• Zeigen Sie, dass (S₃ /U, *) eine abelsche Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Habe bisher die Drehungen und Spiegelungen als Permutationen dargestellt

S = {id, (123), (132), (13), (12), (23)}

Answer 1

Die Rechtsnebenklassen (123)·U und (213)·U sind gleich U, da (123)·(123) = (213) , (213)·(123) =(123)·(213) = (123)^2 * (123) = id und (213)·(213) = (123)^2 * (123)^2 = (123) 

(12)·U = (13)·U = (23)·U = {(12),(13),(23)} = U

U*(12) = U*(13) * U*(23) = U

S_3/U = {s·U | s ∈ S_3} = { {(12),(13),(23)} , U }={(12)*U,U}

Die Multiplikation zweier Elemente von S_3/U kann als Multiplikation deren Elemente definiert werden.

U * U = U

(12)*U * U =(1,2)*(U*U) = (1,2)*U

U*(12)*U=(U*(12))*U = (12)*U*U = (12)*U

(12)*U*(12)*U = U*(12)*(12)*U=U*U=U

Somit ist es eine Abelsche Gruppe