Beweisen sie dass es zwei eindeutig bestimmte Zahlen x und y derart gibt, dass gilt:

Question

Es sei a ≤ c ≤ b mit a ≠ b. Beweisen Sie, dass es zwei eindeutig bestimmte Zahlen x und y derart gibt, dass gilt:

c = xa + yb, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x +y =1

Bei dieser Aufgabe wusste ich nicht, wie ich überhaupt vorzugehen oder was ich eigentlich machen sollte. Würde mich freuen, wenn mir geholfen werden könnte.

Answer 1

bei dieser Aufgabe genügt es, das lineare Gleichungssystem

1 = x + y

c = ax + by

zu lösen und zwar parametrisiert durch die Zahlen a, b und c, das heißt in (stetiger) Abhängigkeit von diesen Parametern.

Aus den zusätzlichen Bedingungen a ≤ c und c ≤ b sollte dann folgen, dass für x und y gilt 0 ≤ x, y ≤ 1 (Hand-waving (*), am besten mal selbst überprüfen).

MfG

Mister

(*) "Hand wedeln"

Comments

Vorerst danke für die Erklärung. Ich wollte nur noch wissen, wie ich das LGS aufzustellen habe. Wäre nett, wenn du es kurz aufschreiben könntest.

Danke.

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Okay, mach ich:

1 = x + y

c = ax + by

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Kann ich es auch so schreiben:

a + b = c

ax +yb=c

x + y = 1


Muss ich dann a und b durch 1 ersetzen?

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a + b = c ist falsch. Kann auch nicht richtig sein, denn steht ja nirgendwo.

Die Rechnung ist sehr straight-forward. Du nutzt an einer Stelle a ungleich b aus, um durch (b - a) zu teilen. Du kannst x und y als Bruch darstellen. Aus der Darstellung aus solch einem Bruch geht dann hervor, dass 0 ≤ x, y ≤ 1.

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ich habe es jetzt mit dem LGS gerechnet, aber ehrlich gesagt, kommt es mir falsch vor, weil ich für a = ay - yb rausbekommen habe und wenn ich das in c = ax + yb einsetze wird es irgendwie noch komplizierter.

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Du musst x = 1 - y in ax + by = c einsetzen und dann nach y umstellen. Fertig,