Möglichkeit, Funktionen hintereinanderausführen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie, sofern moglich, jeweils die Hintereinanderausfuhrungen

f ° g
g ° f
f ° h
h ° f

der unten angegebenen Funktionen. Geben Sie jeweils auch den Definitions- und Wertebereich der Hintereinanderausfuhrung an.

f: R → R, f(x) = (x+1)²
g: [0, ∞) → [0, ∞), g(x) = √(x)
h: (0, ∞) → (0, ∞) h(x) = 1/x

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich auf den Definitions-/ Wertebereich achten muss, wie jedoch nicht.
Ist f ° g möglich, da der Definitionsbereich von g Teil der reellen Zahlen (Wertebereich von f) ist?

Nach der Theorie wären also f ° g und f ° h möglich, g ° f und h ° f nicht.

Vielen Dank für den Support!

Comments

Für eine Verkettung g o f mit f: A->B und g: C->D muss

$$ f(A) \subseteq C $$

gelten. D.h. das Bild von f muss im Definitionsbereich von g liegen. Das kannst du jetzt ja nachprüfen. Für deine Funktionen:

f o g. Naja das Bild von g ist [0,∞) (denn für x in [0,∞) ist x^2 ein Urbild) und das ist offenbar eine Teilmenge von IR, also ist diese Verkettung wohldefiniert.

g o f. Das Bild von f ist [0,∞) (Quadrate sind niemals negativ), und das ist ne Teilmenge vom Definitionsbereich von g. Also ist auch diese Verkettung wohldefiniert.

f o h ist auch wohldefiniert

h o f jedoch nicht. Das Bild von f ist [0,∞), die 0 liegt da also drin f(-1)=0, aber 0 ist nicht im Definitionsbereich von h:

$$ [0,\infty) \not\subseteq (0,\infty) $$

deshalb ist diese Komposition nicht wohldefiniert.

Answer 1

f ° g   f(g(x))=(√x+1)²
g ° f   g(f(x))=√((x+1)²)=x+1
f ° h   f(h(x))=(1/x+1)²
h ° f   h(f(x))=1/((x+1)²)

Comments

Danke für die Antwort, aber bedeutet das, dass sich die Definitions-/Wertebereiche nicht widersprechen?

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Das Wort "widersprechen" wird im Zusammenhang mit Aussagen gebraucht aber nicht im Zusammenhang mit Definitions- und Wertebereich. Da g und h für einen Teilbereich von R definiert sind und Werte haben, gilt dies auch für ihre Verkettungen mit f:R→R.

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Gut.

Danke vielmals!