$$Gegeben\quad sei\quad die\quad Menge\quad M\subseteq { R }_{ \le 4 }[x]\quad mit\\ M={ \left\{ { x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }-1,{ \quad x }^{ 2 }-x-1,\quad { x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }-x,\quad { x }^{ 3 }-2 \right\} }.\\ 1)\quad Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad die\quad Vektoren\quad in\quad M\quad linear\quad abhaengig\quad sind.\\ 2)Zeigen\quad Sie\quad dass\quad K={ \left\{ { x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }-1,{ \quad x }^{ 2 }-x-1,\quad { x }^{ 3 }-2 \right\} }\subseteq M\quad ein\quad Erzeugendensystem\quad von\\ span(M) ist.$$
Meine Lösung:
1) \( { x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }-x = 1*({ x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }-1)+1*({ x }^{ 2 }-x-1)-1({ x }^{ 3 }-2) \), somit lin. Abh.
2) Hier bin ich mir unsicher, denn es ist ja zu zeigen, dass M durch K darstellbar ist? Also jeder einzelne Vektor in M muss durch die 3 Vektoren in K darstellbar sein? Da 3 der Vektoren in M ein Vielfaches von K sind, ist zu zeigen, dass der Vektor \( { x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }-x \), durch K darstellbar ist und dies folgt aus Aufgabe 1? Stimmt dies so?
Ich denke, ich habe es falsch gemacht, bei 1) müsste ich wohl eher zeigen, dass alle Vektoren linear unabhängig sind, also dass es mehrere Varianten gibt, sodass die Linearkombination den Nullvektor ergibt.
Und bei Aufgabe 2 muss ich wohl eher zeigen, dass alle Vektoren aus M zusammen durch K darstellbar sind, was nicht möglich ist.
