Ist die Gerade parallel zur Ebene?

Question

Aufgabe:

…Der Vektor n= (7 | 4|-3) ist ein Normalenvektor der Ebene E. Untersuchen Sie , ob die Gerade g die Ebene E (orthogonal) schneidet oder parallel zur Ebene E bzw. in der Ebene E liegt.

a) g:x=( 2| 1 |3)+ r×( 5|4|-2)

b) g:x= ( 1|1|2) +r ×(-7|-4|3)

c) g:x= ( 8| 1 |7)+r×(1|-1|1)

Die Blätter sind meine Lösung.

Woher weiß ich, dass es zur Ebene parallel ist oder sich schneidet? Könntet ihr Merksätze aufschreiben , die man darauf anwenden kann?

Kann ich die Ebenengleichung bestimmen?

Ist meine Lösung richtig oder verbessert sie bitte

Answer 1

Der Vektor n= (7 | 4|-3) ist ein Normalenvektor der Ebene E. Untersuchen Sie , ob die Gerade g die Ebene E (orthogonal) schneidet oder parallel zur Ebene E bzw. in der Ebene E liegt.

a) g:x=( 2| 1 |3)+ r×( 5|4|-2)

b) g:x= ( 1|1|2) +r ×(-7|-4|3)

c) g:x= ( 8| 1 |7)+r×(1|-1|1)

Die Blätter sind meine Lösung.

Es sind leider keine Blätter zu sehen.

1. Berechne das Skalarprodukt von n und den Richtungsvektoren der Geraden. Gibt das 0, steht die Ebene orthogonal (senkrecht) auf der Geraden.

2. Berechne das Vektorprodukt von n und den Richtungsvektoren der Geraden. Gibt das 0, ist die Gerade parallel zur Ebene (oder sie ist sogar ganz in der Ebene enthalten, diesen Spezialfall kannst du erst ausschliessen, wenn du von der Ebene mehr als nur den Normalenvektor kennst).

Comments

Ich habe nun das Skalarprodukt und das Vektorprodukt ausgerechnet. Jedoch verstehe  ich nicht wie man daraus folgern soll ob es nun parallel ist sich schneidet oder nicht?

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Welchen Teil von

"1. Berechne das Skalarprodukt von n und den Richtungsvektoren der Geraden. Gibt das 0, steht die Ebene orthogonal (senkrecht) auf der Geraden.

2. Berechne das Vektorprodukt von n und den Richtungsvektoren der Geraden. Gibt das 0, ist die Gerade parallel zur Ebene (oder sie ist sogar ganz in der Ebene enthalten, diesen Spezialfall kannst du erst ausschliessen, wenn du von der Ebene mehr als nur den Normalenvektor kennst)."

hast du nicht verstanden?

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Vielen Dank!

Answer 2

Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf der Ebene.Wenn eine Gerade parallel zu einer Ebene verläuft, dann steht der Normalenvektor AUCH senkrecht auf dieser Gerade.

Sollte die Gerade senkrecht zur Ebene stehen, dann muss sie parallel zum Normalenvektor sein (der ja auch auf der Ebene senkrecht steht).

Answer 3

Kontroll-Lösung

a) Die Gerade schneidet die Ebene allerdings nicht senkrecht.

b) [-7, -4, 3] = - [7, 4, -3] → Die Gerade schneidet die Ebene senkrecht.

c) [1, -1, 1]·[7, 4, -3] = 0 → Die gerade liegt (unecht) parallel zur Ebene.