Untersuche folgende Matrizen auf Invertierbarkeit und berechne die Inverse

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Matrizen auf Invertierbarkeit und berechnen Sie ggf. die Inverse;

\( A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 5 \end{pmatrix} \in ℝ^{3,3}\), \( B=\begin{pmatrix} -i & 1 \\ 1 & -i \end{pmatrix} \in ℂ^{2,2} \), \( C=\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 1+i & 0 \\ 0 & 0 & 4-8i \end{pmatrix} \in ℂ^{3,3} \)

Answer 1

Hallo Diana,

a)

Hier kannst du folgenden Algorithmus anwenden:

⎡ 2   -1   3   1  0  0 ⎤         Matrix A   , Einheitsmatrix
⎢ 0   4    2   0  1  0 ⎥
⎣ 3   3    5   0  0  1 ⎦

Mit den üblichen Gaußumformungen bringst du die Einheitsmatrix nach vorn, dann steht hinten die inverse Matrix.

Wenn das Verfahren klappt, ist die Matrix "automatisch" invertierbar, weil ihre Determinante ≠ 0 ist.

⎡ 2    -1      3       1   0  0 ⎤ 
⎢ 0     4      2       0   1  0 ⎥
⎣ 0   9/2   1/2   -3/2  0  1 ⎦   Z3 - 3/2 * Z1

⎡ 2  -1      3      1      0    0 ⎤
⎢ 0   4      2      0      1    0 ⎥
⎣ 0   0   -7/4  -3/2  -9/8  1 ⎦  Z3 - 9/8 * Z2

⎡ 2  -1     0   -11/7  -27/14  12/7 ⎤  Z1 + 12/7 * Z3 
⎢ 0   4     0   -12/7   -2/7      8/7  ⎥  Z2 +  8/7 * Z3
⎣ 0   0  -7/4   -3/2    -9/8       1   ⎦   

⎡ 2  0   0      -2      -2        2 ⎤  Z1 + 1/4 * Z2  
⎢ 0  4   0   -12/7   -2/7   8/7 ⎥
⎣ 0  0  -7    -3/2   -9/8     1  ⎦

Jetzt jede Zeile durch ihr Element in der Hauptdiagonalen dividieren:

⎡ 1  0  0     -1        -1     1  ⎤     
⎢ 0  1  0   -3/7   -1/14  2/7 ⎥
⎣ 0  0  1    6/7    9/14  -4/7 ⎦      inverse Matrix A^-1

---------------

b) 

⎡ 8      0        0       1    0    0 ⎤
⎢ 0    1+i       0       0    1    0 ⎥
⎣ 0     0      4-8·i     0    0    1 ⎦

Hier musst du nur durch die Diagonalenelemente dividieren:

⎡ 1      0       0      1/8       0                0     ⎤
⎢ 0     1         0        0    1/(1+i)           0     ⎥
⎣ 0     0         1       0         0          1/(4-8i) ⎦

⎡ 1      0      0      1/8         0               0        ⎤
⎢ 0      1      0       0     1/2 - i/2           0        ⎥
⎣ 0      0      1       0          0         1/20 - i/10 ⎦     inverse Matrix  

c)

Da solltest du die mal dieses Video anschauen, um zu sehen, wie man 2x2-Matrizen invertieren kann, wenn das Verfahren von oben Ärger macht:

 https://www.youtube.com/watch?v=nAg7Eh_UIGw

Dein Kontrollergebnis: 

⎡ - i    1 ⎤ -1    =   ⎡ i/2  1/2 ⎤
⎣  1   - i ⎦             ⎣ 1/2  i/2 ⎦

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang ich möchte dir herzlich danken ! Du bist der beste bei Mathelounge :)

Answer 2

Wie man Invertierbarkeit durch det(M) feststellt weisst du sicher,

zum invertieren dann das übliche Gleichungssystem lösen, oder sich von einem Matrizenrechner im Netz helfen lassen, die meisten zeigen auch Schritt für Schritt, was sie tun.

Gruß lul