Koeffizienten wenn man (a+b+c)6 ausmultipliziert

Question

Aufgabe:

Der Term T = (a + b + c)⁶ wird ausmultipliziert.

Berechne die Koeffizienten von ab²c³ abc⁴ und von a²b²c² .

Answer 1

(a + b + c)⁶  =  (a+b)⁶ + 6*(a+b)⁵*c + 15(a+b)^4c^2   + 20*(a+b)3*c³ + ……………..

wichtig ist nur der Teil   20*(a+b)3*c³

                       = 20 * ( a³ + 3a^2b + 3ab² + b³ ) * c³

                      = ……………. 20*3*ab² * c³ ………………..

 Also ist der Koeffizient für ab² * c³  die 60.

etc.

Comments

und wie kommt man auf diese 20?

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Sagt dir "Pascalsches Dreieck" was ?

Sonst schau mal dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

und setze es fort bis zur Zeile für die hoch 6.

Answer 2

Wenn Du das wirklich ausmultiplizieren sollst. bekommst Du:

a⁶ + 6 a⁵ b + 6 a⁵ c + 15 a⁴ b² + 30 a⁴ b c + 15 a⁴ c² + 20 a³ b³ + 60 a³ b² c + 60 a³ b c² + 20 a³ c³ + 15 a² b⁴ + 60 a² b³ c + 90 a² b² c² + 60 a² b c³ + 15 a² c⁴ + 6 a b⁵ + 30 a b⁴ c + 60 a b³ c² + 60 a b² c³ + 30 a b c⁴ + 6 a c⁵ + b⁶ + 6 b⁵ c + 15 b⁴ c² + 20 b³ c³ + 15 b² c⁴ + 6 b c⁵ + c⁶

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ab^2c^3  : 60

abc⁴  :    30

a^2b^2c²  :90

Comments

ist das nicht extrem kompliziert?