Koeffizienten wenn man (a+b+c)^6 ausmultipliziert

Question

Aufgabe:

Der Term T = (a + b + c)⁶ wird ausmultipliziert.

Berechne die Koeffizienten von ab²c³ abc⁴ und von a²b²c² .

Answer 1

(a + b + c)^6  =  (a+b)^6 + 6*(a+b)^5*c + 15(a+b)^4c^2   + 20*(a+b)3*c^3 + ……………..

wichtig ist nur der Teil   20*(a+b)3*c^3

                       = 20 * ( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ) * c^3

                      = ……………. 20*3*ab^2 * c^3 ………………..

 Also ist der Koeffizient für ab^2 * c^3  die 60.

etc.

Comments

und wie kommt man auf diese 20?

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Sagt dir "Pascalsches Dreieck" was ?

Sonst schau mal dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck

und setze es fort bis zur Zeile für die hoch 6.

Answer 2

Wenn Du das wirklich ausmultiplizieren sollst. bekommst Du:

a^6 + 6 a^5 b + 6 a^5 c + 15 a^4 b^2 + 30 a^4 b c + 15 a^4 c^2 + 20 a^3 b^3 + 60 a^3 b^2 c + 60 a^3 b c^2 + 20 a^3 c^3 + 15 a^2 b^4 + 60 a^2 b^3 c + 90 a^2 b^2 c^2 + 60 a^2 b c^3 + 15 a^2 c^4 + 6 a b^5 + 30 a b^4 c + 60 a b^3 c^2 + 60 a b^2 c^3 + 30 a b c^4 + 6 a c^5 + b^6 + 6 b^5 c + 15 b^4 c^2 + 20 b^3 c^3 + 15 b^2 c^4 + 6 b c^5 + c^6

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ab^2c^3  : 60

abc^4  :    30

a^2b^2c^2  :90

Comments

ist das nicht extrem kompliziert?