LGS finden mit Gaußalgorithmus, dessen Lösungsmenge aus Bildern besteht

Question

Finden Sie ein LGS mit dem Gauß-Algorithmus, dessen Lösungsmenge aus den Bildern (y1, y2, y3) ∈ ℚ³ der Matrix A=(-3, -4, -27, -18| -2, 4, -48, -2| 1, 2, 6, 7) besteht.

Ich habe bereits die Matrix auf die reduzierte Zeilen-Stufen-Form gebracht: (1, 0, 15, 4| 0, 1, -4,5, 1,5| 0, 0, 0, 0), allerdings weiß ich nun nicht, was ich machen soll. Kann mir jemand den Rest erklären? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo Lasse,

Keine Ahnung, ob folgendes Dein Dozent hören oder lesen möchte. Das sind meine Gedanken zur Aufgabe:

Der Gauß-Algorithmus liefert Dir zunächst mal die Information, dass der Rang der Matrix \(=2\) ist. Wenn man also die Spaltenvektoren von \(A\) als Erzeugendensystem auffasst, dann spannen diese eine Ebene (\(\mathbb{Q}^2\) wg Rang 2) in \(\mathbb{Q}^3\) auf. Zur Definition dieser Ebene \(E\) reichen also zwei linear unabhängige Spaltenvektoren aus \(A\) z.B.: $$u= \begin{pmatrix} -3  \\ -2  \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} -4  \\ 4  \\ 2 \end{pmatrix} \\ E: \space y = r \cdot u + s \cdot v, \quad r,s \in \mathbb{Q}$$ \(E\) ist das Bild der Matrix \(A\). Jetzt ist ein LGS gesucht, desen Lösungsmenge identisch zum Bild von \(A\) und damit gleich \(E\) ist. Dazu wandelt man die Parameterform von \(E\) in eine Normalform um: $$E: \space n^T \cdot y = 0, \quad n = k(u \times v), \space k \in \mathbb{Q}\backslash 0 \\ E: \space \begin{pmatrix}4 & -1 & 10\end{pmatrix} \cdot y = 0$$ und dies geht doch schon als LGS durch - oder? Falls nicht dann verdreifache einfach die Zeile: $$\begin{pmatrix}4& -1& 10\\ 4& -1& 10\\ 4& -1& 10\end{pmatrix} \cdot y = \vec{0}$$ oder wenn es ein wenig mehr Abwechselung sein soll, kann man jede Zeile noch mit einem Faktor multiplizieren $$\begin{pmatrix}4& -1& 10\\ 0& 0& 0\\ -8& 2& -20\end{pmatrix} \cdot y = \vec{0}$$