Welche dieser 8 Gruppen besitzen eine Untergruppe mit 5 Elementen, welche nicht?

Question

kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen?

Gegeben seien die folgenden vier Gruppen mit Parameter n ∈ ℕ:

• ⟨ℤ_n, +_n⟩
• ⟨S_n, ◦⟩ (symmetrische Gruppe)
• ⟨ß(ℤ_n), ∆⟩
• ⟨ℤ_n × ℤ_n, +\( \frac{2}{n} \) ⟩ (Produktgruppe)

Es werden 8 Gruppen definiert, einmal mit n = 3 und einmal mit n = 6. Welche dieser 8 Gruppen besitzen eine Untergruppe mit 5 Elementen, und welche nicht? Begründen Sie Ihre Aussagen. Geben Sie jeweils eine solche Untergruppe an, falls diese existiert.

Answer 1

Hallo Niase, fangen wir mit der ersten Aufgabe an.
(ℤ₃, +) = {[0], [1], [2]}
Eine Gruppe mit drei Elementen kann keine Untergruppe mit 5 Elementen haben.

So jetzt bist du dran.  Wie geht die nächste Teilaufgabe mit ℤ₆?

Comments

Hallo Niase, noch keine Antwort von dir  Würde mich über eine Rückmeldung zu meiner Hilfe freuen, z. B. „verstehe kein Wort“ oder „alles klar, vielen Dank“.

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Hallo RomanGa, ehrlich gesagt verstehe ich kein Wort, was aber glaube ich nicht an dir liegt, sondern einfach daran dass ich generell nicht so das Mathe-Genie bin.

Trotzdem vielen Dank für die Antwort

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Hallo Niase, kein Problem.  Schön, dass du dich gemeldet hast.  Grob gesprochen, und mathematisch nicht  ganz exakt, ist ℤ₃ eine Gruppe mit den Elementen 0, 1 und 2.  Und wenn man in dieser Gruppe Elemente addiert, z. B. 2 + 2, dann zieht man vom Ergebnis so lange 3 ab, bis wieder 0, 1 oder 2 rauskommt.  Also 2 + 2 = 4 = 1.  Ich schreibe vereinfachend (ℤ₃, +) = {0, 1, 2}.  Wenn du möchtest, kannst du mir sagen, wie ℤ₆ aussieht und was in dieser Gruppe 5 + 4 gibt.

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Hallo RomanGa, vielen Dank für dieine Antwort.

ℤ₃ müsste dann so aussehen: (ℤ₃, +) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 5 + 4 wäre dann 9 - 6, also 3, richtig?

Und was soll nun überhaupt heißen, welche Gruppe eine Untergruppe mit 5 Elementen besitzt? Oder was ist erst einmal mit Untergruppe gemeint?

Ich bedanke mich für weitere Antworten.

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Hallo Niase, das, was du hingeschrieben hast, ist ℤ₆, nicht ℤ₃.  Ansonsten alles korrekt.  Was eine Untergruppe ist?  Lies bitte die Definition von „Untergruppe“ in deinem Script oder in Wikipedia nach und sag es mir.  Bilde dann bitte eine Untergruppe von ℤ₆.

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RomanGa, in meinem Skript steht als Definition für Untergruppen: "Ist ⟨G,⊕⟩ eine Gruppe und H ≠ ∅ eine Teilmenge von G, so dass ⟨H,⊕⟩ auch eine Gruppe ist, so nennen wir ⟨H,⊕⟩ Untergruppe von ⟨G,⊕⟩, in Zeichen H ≤ G."

Ehrlich gesagt weiß ich nicht, was mir das sagen soll.

Und ja bei dem was ich zuvor hingeschrieben habe meinte ich ℤ₆, habe mich nur verschrieben

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Okay, dann machen wir ein Beispiel.  Für das folgende Beispiel ist es aber wichtig, zu wissen, was +₆ ist.  4 +₆ 5 = (4 + 5) modulo 6 = 9 modulo 6 = 3.  Modulo 6 heißt, teilen durch 6 und sich für den Rest interessieren.  Was ist 3 +₃ 8?  Was ist 3 +₆ 8?

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3 +₃ 8 wären dann 11 modulo 3 = 2

3 +₆ 8 sind 11 modulo 6 = 5, richtig?

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Hallo Niase, ja, das ist richtig.  Jetzt betrachten wir die Gruppe (Z₆, +₆) mit Z₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.  Vielleicht ist ja (Z₆₁, +₆) eine Untergruppe, wenn Z₆₁ = {0, 1, 2, 3, 4}.  Gemäß deiner oben aufgeschriebenen Definition ist dies eine Untergruppe von (Z₆, +₆), wenn (Z₆₁, +₆) eine Gruppe ist.  Bitte prüfe anhand der Definition von „Gruppe“, ob (Z₆₁, +₆) eine Gruppe ist.  Prüfe vor allem, ob für jedes a, b ∈ Z₆₁ auch gilt:  a +₆ b ∈ Z₆₁. 

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Also angenommen ich würde a = 3 und b = 4 nehmen, dann wäre 3 +₆ 4 =7 - 6 = 1, und 1 liegt immer noch in ℤ₆₁ und da man durch das modulo immer auf Werte von 0-5 kommt, liegen diese immer in der Gruppe ℤ₆₁. Habe ich damit schon bewiesen, dass es sich um eine Gruppe handelt oder ob dies eine Untergruppe ist?

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Aber der Wert 5 liegt doch gar nicht in Z₆₁.  Für welches a und b gibt es ein Problem?

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oh achso, dann für ein a und b, die zusammen 5 ergeben? Also zb. a = 4 und b = 1. Dann wäre das Ergebnis 5 aber 5 liegt nicht in ℤ₆₁

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Genau.  Z₆₁ ist keine Untergruppe von Z₆.  Jetzt prüfe mal Z₆₂ = {0, 2, 4}.  Ist das eine Untergruppe von Z₆?

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Mit ℤ₆₂ könnte man 0, 2, 4 und 6 bilden.. 0, 2, 4 wären dabei immer noch in der Gruppe und bei 6 würde man 6 modulo 6 = 0 rechnen, läge also auch in der Gruppe.

Also handelt es sich deswegen hierbei um eine Untergruppe von ℤ₆?

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Genau!  Man kann auch 8 bilden.  -  Es gibt noch eine weitere Untergruppe von Z₆.  Welche?

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Hmm geht auch einfach ℤ₆₃ = {0,1} ?

Aber habe ich das richtig verstanden, dass zB ℤ₆₄ = {0,1,3,5} nicht gehen würde, da man 4 bilden könnte und 4 nicht in ℤ₆₄ enthalten ist, oder verstehe ich da was falsch?

Und gibt es eine bestimmte Methode wie man sich einfach alle Untergruppen aufschreiben kann?

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{0, 1} geht nicht, denn 1 +₆ 1 = 2.  Und das liegt nicht in der Gruppe.  -  Nein, du hast das richtig verstanden.  -  Im Moment würde ich das mal mit Ausprobieren versuchen.  Du hast ja gesehen, dass wir mit der Zweierreihe erfolgreich waren.  Probiere doch mal die Dreierreihe.

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Also ℤ₆₃ = {0, 3}? Oder kommt da auch noch die 6 dazu?

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Diese Frage geht an dich zurück.  Geht auch {0, 3, 6}?

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Ja würde gehen, da man 0, 3, 6, 9 und 12 bilden könnte. Mit modulo 6 würde bei jedem 0 oder 3 rauskommen. Aber unser eigentliches ℤ₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} beinhaltet ja keine 6, darf man die dann trotzdem mit reinnehmen?

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({0, 3, 6}, +₆) ist definitiv keine Untergruppe von ({0, 1, 2, 3, 4, 5}, +₆), weil die erste Menge keine Teilmenge der zweiten ist.

Zurück zur Originalaufgabe von ganz oben.  Gibt es eine 5-elementige Untergruppe von Z₆?

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Ich denke nicht. Z.B. ℤ₆₁ = {0, 1, 2, 3, 4} würde nicht gehen da man damit 5 bilden könnte und dies nicht mehr in ℤ₆₁ liegt.

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Genau so ist es.  Alle anderen Teilmengen von {0, 1, 2, 3, 4, 5} gehen genauso wenig.  Damit ist diese Teilaufgabe gelöst.  EmNero hat auch eine schöne Lösung gepostet.  Ich weiß nur nicht, ob ihr den Satz von Lagrange hattet und benutzen dürft.

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Den Satz von Lagrange hatten wie auch schon.

Ich bedanke mich für deine ausführliche Hilfe, gibt nicht viele die so viel Geduld haben :D

Ich denke die anderen Teilaufgaben müsste ich nun auch hinbekommen.

Mfg

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Vielen Dank für die „beste Antwort“.  (EmNero hätte sie auch verdient.)  -  Bitte sehr, und jederzeit gerne wieder. 

Answer 2

Diese Frage kann mit dem Satz von Lagrange ganz einfach beantwortet werden.

Ist \(G\) eine Gruppe und \(H≤G\) eine Untergruppe. Dann gilt

$$ |G| = [G ~:~H] \cdot |H| $$

Die genaue Bedeutung dieser Gleichung ist für diese Aufgabe nicht relevant. Wichtig ist nur die Folgerung:

$$ |H| \text{ teilt } |G| $$

Also: die Anzahl der Elemente von H muss die Anzahl der Elemente von G teilen!

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\(\mathbb{Z}_3\) hat \(3\) Elemente, da 5 kein Teiler von 3 ist, kann es keine Untergruppe mit 5 Elementen geben.

\(\mathbb{Z}_6\) hat \(6\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 6, also existiert keine Untergruppe mit 5 Elementen.

\(S_3\) hat \(3!=3\cdot2\cdot1=6\) Elemente. Hier gibt es also auch keine Untergruppe mit 5 Elementen.

\(S_6\) hat \(6!=720\) Elemente. 5 ist ein Teiler von 720. Hier musst du jetzt überprüfen ob es eine gibt.

\(\mathcal{P}(\mathbb{Z}_3)\) hat \(2^3=8\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 8, also keine Untergruppe mit 5 El.

\(\mathcal{P}(\mathbb{Z}_6)\) hat \(2^6=64\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 64.

\(\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3\) hat \(3\cdot3=9\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 9.

\(\mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_6\) hat \(6\cdot6=36\) Elemente, 5 ist kein Teiler von 36.

Also bleibt nur die Gruppe \(S_6\) zu überprüfen. Die restlichen Gruppen können keine Untergruppe mit 5 Elementen haben.

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