Berechnung von Aufgaben mit Matrizen

Question

hallo Ihr lieben,

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Erinnerung: Zwei Vektoren v1 und v2 werden linear unabhängig genannt, wenn aus λ1v1+λ2v2=0 stets λ1=λ2=0 folgt, d.h. wenn der Vektor 0=(0,…,0) eindeutig als Linearkombination λ1v1+λ2v2  von v1 und v2 geschrieben werden kann.

Berechnen Sie zwei linear unabhängige Eigenvektoren v1,v2 der Matrix M=

-2	-3
1	2

 Sei S die Matrix (v1v2), deren Spalten durch die Vektoren v1 und v2 gegeben sind und S^−1 die Matrix mit S^−1 S=

1	0
0	1

 Berechnen Sie

S^−1 MS=

Bitte beachten Sie, dass nicht jede 2×2 Matrix zwei linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Es gilt: Eine 2×2 Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie zwei linear unabhängige Eigenvektoren v1, v2 besitzt.

Finden Sie eine 2×2 Matrix mit reellen Einträgen, die nicht diagonalisierbar ist:

Ich danke sehr im Voraus :-)

Answer 1

Berechnen Sie zwei linear unabhängige Eigenvektoren v1,v2 der Matrix M

Es ist det(M-x*E) = x^2 - 1

also Eigenwerte ±1

und zugehörige Eigenvektoren

t
-t

bzw

3t
 -t

Also ist z.B.  S =

1      3
-1     -1

und S^(-1) =

-0,5    -1,5
0,5    0,5

und damit  S^−1 MS=

1    0
0   -1

Nicht diagonalisierbar ist wohl

0   1
0   0

Comments

Vielen Dank :-)