Geradengleichung und Bedingungen aufstellen

Question

Sei g ⊆ ℝ³ die Gerade durch die Punkte (0,0,0) und (1,1,1).

Sei h ⊆ ℝ³ die Gerade durch die Punkte (0,1,0) und (0,0,1).

Man bestimme den minimalen Abstand zweier Punkte P, Q ∈ℝ³ unter der Nebenbedigung P ∈g und Q∈h mittels Lagrange.

Sei P(u1,u2,u3) und Q(v1,v2,v3).

Die Abstandsfunktion ist f(u,v)=((u₁-v₁)*(u₂-v₂)*(u₃-v₃))^1/2

Bis hierher ist mir alles klar. Doch wie komme ich auf die folgenden Nebenbedigungen?

P ∈ g ⇔u₁-u₂=0 und u₁-u₃=0

Q ∈ h ⇔ v₁=0 und v₂+v₃=1

Kann mir bitte jemand weiterhelfen und sagen, wie ich die Äquivalenz schließen kann? 

Answer 1

Die Geradengleichung in der Parameterform ist

bei g:    x =  (0,0,0)  + t* (1,1,1)   = ( t,t,t)

Auf der Geraden liegen also genau alle die Punkte, deren

drei Koordinaten alle gleich sind.

Das heißt für einen Punkt (u1,u2,u3) ja nur  u1=u2 und u1=u3

oder eben u1-u2=0 und u1-u3=0.

Bei h entsprechend

h:   x =  (0,1,0)   + t * ((0,0,1) - (0,1,0)) = ( 0 , 1-t , t ) .

Auf der Geraden liegen also genau alle die Punkte, deren

1. Koo. die 0 ist und die zweite und dritte

geben zusammen 1.   Das heißt für einen Punkt (v1,v2,v3) ja nur

v1=0 und v2+v3=1

Answer 2

Die Nebenbedindungen P ∈ g ⇔u1-u2=0 und u1-u3=0, Q ∈ h ⇔ v1=0 und v2+v3=1 werden vermutlich von der Aufgabenstellung vorgegeben, d.h. sie sind vom Verfasser der Aufgabe hinzugefügt worden und ergeben sich nicht zwangsläufig.