Quotientenvektorraum, lineare Unabhängigkeit

Question

Aufgabe  [v_1],...,[v_n] linear unabhängig  in V/U => v_1,...,v_n linear unabhängig in V (U eine Untervektorraum von V)

Answer 1

Seien  v_1,...,v_n  aus  V  und x_1, …. , x_n aus dem Grundkörper ( ℝ ? )

mit  x_1*v_1 + … + x_n *v_n    = 0

==>  x_1*[v_1] + … + x_n *[v_n]    = [0]

also x_1 = …. = x_n , da    [v_1],...,[v_n] linear 
unabhängig  in V/U .      q.e.d.

Answer 2

Ohne Rechnung (siehe mathef) bekommt man relativ schnell Verständnis dafür, wieso der Satz gilt:

Aus der Definition von Quotientenräumen (besonders der Definition der Addition):

"Keine nichttriviale Linearkombination von [v1],...[vn] ergibt [0]", das ist äquivalent zu:

"Keine nichttriviale Linearkombination von v1,...,vn landet in U". Da jeder Untervektorraum 0 enthält, folgt daraus:

"Keine nichttriviale Linearkombination von v1,...,vn ergibt 0", also müssen v1,..., vn linear unabhängig sein.

Das nur als Intuition, wieso der Satz Sinn ergibt. Der wirkliche Beweis wurde ja schon gegeben.

LG