Die Reihe x:= \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{x_n 2^{-n}} \) konvergiert und es gilt 0 ≤ x ≤ 1.

Question

Sei (x_n) eine Folge mit x_n ∈ {0; 1} für alle n ∈ ℕ

Begründen Sie: Die Reihe x:= \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{x_n 2^{-n}} \) konvergiert und es gilt 0 ≤ x ≤ 1.

 Es soll x_n2^-n  sein.^^

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Begründen SIe: Die Reihe x:= \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) xn2-n konvergiert und es gilt 0 ≤ x ≤ 1.

Stichworte: geometrische-reihe

Sei (x_n) eine Folge mit x_n ∈ {0,1} für alle n ∈ ℕ.

a) Begründen SIe: Die Reihe x:= \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) x_n2^-n  konvergiert und es gilt 0 ≤ x ≤ 1.

b) Schreiben Sie \( \frac{1}{5} \) als Dualzahl \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) x_n2^-n . Überprüfen Sie ihr Ergebnis.

Komme mit dieser Aufgabe leider überhaupt nicht zurecht, ich denke mal, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt. Bei Aufgabe b verstehe ich gar nicht was gewollt ist. Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!^^

---

Die a) gab es schon mal.

b) hier sollst du die Folge x_n herausfinden, sodass 1/5 herauskommt.

Hier kannst du erstmal spicken:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=1%2F5+as+binary+number

Zeige nun, dass hierbei tatsächlich bei der Summe 1/5 herauskommt.

Answer 1

Hallo

 wegen xn<=1 kannst du die Summe vergrößern, indem du xn=1 setzt und die Summe berechnest, dass sie mit xn>0  größer 0 ist ist klar.

Gruß lul